Límite de Matrices

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

Límites con matrices, se que suena alocado pero es más fácil de lo que parece.

Vamos a calcular el límite de:

\[\lim _{k \rightarrow \infty} A^{k}\]

Bueno, en realidad no, porque nadie haría eso. Pero el ejemplo es meramente demostrativo.

Vamos a suponer que:

\[A=\left[\begin{array}{cc}7 & 4 \\ -10 & -\frac{17}{3}\end{array}\right]\]

De acuerdo, pero ¿cómo se eleva una matriz a un exponente? Exacto, usando la diagonalización. Calculando los autovalores y autovectores, vemos que:

\[\lambda=1 \space \text { y } \space \lambda=\frac{1}{3}\]

Y los autoespacios son:

\[V_{\lambda=1}=\operatorname{span}\{(2,-3)\}\]

\[V_{\lambda=\frac{1}{3}}=\operatorname{span}\{(-3,5)\}\]

Por tanto:

\[P=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -3 & 5\end{array}\right]\]

\[D=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]\]

\[P^{-1}=\left[\begin{array}{ll}5 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right]\]

Entonces, sabemos que:

\[A^{k}=P \cdot D^{k} \cdot P^{-1} \therefore\]

\[D^{k}=\left[\begin{array}{cc}1^{k} & 0 \\ 0 & \frac{1^{k}}{3^{k}}\end{array}\right]\]

Aplicando el límite:

\[\lim _{k \rightarrow \infty} A^{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} P \cdot D^{k} \cdot P^{-1} \Rightarrow\]

\[\lim _{k \rightarrow \infty} A^{k}=P \lim _{k \rightarrow \infty} D^{k} P^{-1}\]

Y así, solo tenemos que calcular el límite en la matriz diagonal, es decir, el límite en cada uno de los elementos de la diagonal. Como:

\[\lim _{k \rightarrow \infty} 1^{k}=1\]

\[\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=0\]

Podemos decir que:

\[\lim _{k \rightarrow \infty} D^{k}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] \therefore\]

\[\lim _{k \rightarrow \infty} A^{k}=P \cdot\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] \cdot P^{-1} \Rightarrow\]

\[\lim _{k \rightarrow \infty} A^{k}=\left[\begin{array}{cc}10 & 6 \\ -15 & -9\end{array}\right]\]

Si los autovalores hubieran dado números diferentes de \(1\), o números entre \(0\) y \(1\), por ejemplo: \(\lambda=3\) y \(\lambda=5\).

\[\lim _{k \rightarrow \infty} D^{k}=\left[\begin{array}{cc}3^{k} & 0 \\ 0 & 5^{k}\end{array}\right]\]

Lo que sería infinito en las diagonales. Y podrías pensar, “¿el límite no existe?”En este caso, como el límite tiende al infinito no podemos pasarlo hacia adentro. Es decir, no es válido para este caso:

\[\lim _{k \rightarrow \infty} A^{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} P \cdot D^{k} \cdot P^{-1} \Rightarrow\]

\[\lim _{k \rightarrow \infty} A^{k}=P \lim _{k \rightarrow \infty} D^{k} P^{-1}\]

Entonces, tendríamos que resolver el producto \(P D^{k} P^{-1}\) en función de \(k\) y después hacer el límite.

Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios #Vamosallá