Órbitas Alrededor del Centro de Masa

Hemos visto cómo se comporta un objeto que está orbitando alrededor de un objeto fijo, ¿cierto? ¿Cómo podemos saber el comportamiento de un par de objetos móviles? ¡Ya lo vamos a averiguar!

¡Pero primero vamos a empezar recordando un concepto importante para este tema!

Cálculo del centro de masa

Recordemos el sistema de partículas, cuando hagamos este cálculo

Lo primero que hay que hacer es definir un sistema de coordenadas. Para facilitar aunque sea un poquito la cuenta, coloca el origen en una de las masas. Fíjate en esta imagen:

Y el cálculo del centro de masa es básicamente una media ponderada de las coordenadas, teniendo las masas como pesos, saca sólo:

\(x_{c m}=\frac{x_{1} m_{1}+x_{2} m_{2}+x_{3} m_{3}+x_{4} m_{4}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}}\)

\(y_{c m}=\frac{y_{1} m_{1}+y_{2} m_{2}+y_{3} m_{3}+y_{4} m_{4}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}}\)

Debido a nuestra elección de colocar una de las masas en el origen (en la imagen fue la masa número \(4\)), tenemos:

\(x_{4}=y_{4}=0\)

Radio de la órbita

Considerando ahora el par de masas, comúnmente llamado binario, tenemos, después de encontrar el centro de masa, el siguiente esquema:

¡Lo que necesitamos entender aquí es que ambas masas orbitarán el centro de masa! Y entonces el radio de la órbita de cada una de las masas \(m_{1}\) y \(m_{2}\) son, respectivamente, \(r_{1}\)  y \(r_{2}\).

Velocidad y período orbital 

¡Ahora llegamos a lo que se puede cobrar en los problemas! 

Estas masas, a pesar de la extrañeza del sistema, continúan realizando órbitas circulares alrededor del centro de masa. En primer lugar, vamos a encontrar una expresión para \(r_{1}\) y \(r_{2}\) en función de las masas y la distancia entre ellas.

Usando lo que aprendimos para calcular el centro de masa, conseguimos:

\(r_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} r\)

\(r_{2}=r-r_{1}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} r\)

Para encontrar la velocidad orbital, NO PODEMOS USAR LA FÓRMULA ANTERIOR, dada por:

\(v=\sqrt{\frac{G M}{r}}\)

Por lo tanto, vamos a deducir una nueva expresión, igualando nuevamente la fuerza centrípeta con la fuerza gravitatoria.

Haciendo primero para la masa \(m_{1}\):

\(F_{c p}=F_{g r a v} \rightarrow \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{r_{1}}=\frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}\)

Simplificando:

\(v_{1}=\sqrt{\frac{G m_{2}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right) r}}\)

Y para la otra masa:

\(v_{2}=\sqrt{\frac{G m_{1}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right) r}}\)

Ya para el período orbital, podemos usar su relación normal con la velocidad orbital

\(v=\frac{2 \pi r}{T}\)

Entonces:

\(T_{1}=2 \pi r_{1} \sqrt{\frac{\left(m_{1}+m_{2}\right) r}{G m_{2}^{2}}}\)

Entrando con \(r_{1}\) para la raíz, y sustituyendo su valor:

\(T_{1}=2 \pi \sqrt{\frac{\left(m_{1}+m_{2}\right) r}{G m_{2}^{2}} \frac{m_{2}^{2} r^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}}\)

Simplificando:

\(T_{1}=2 \pi \sqrt{\frac{r^{3}}{G\left(m_{1}+m_{2}\right)}}\)

Si hacemos el mismo proceso para la otra masa, encontraremos:

\(T_{2}=2 \pi \sqrt{\frac{r^{3}}{G\left(m_{1}+m_{2}\right)}}\)

Lo que ya se esperaba, ya que el centro de masa no va a cambiar su posición relativa entre las dos masas, el tiempo que tardan en dar una vuelta completa debe ser igual.

¿Mucho concepto? ¡No te preocupes! ¡Haz un ejercicio y todo saldrá bien! :)