Momento Lineal Relativista

El principio de conservación del momento lineal establece que “cuando dos cuerpos interactúan, el momento lineal permanece constante” (cuando no hay presencia de fuerzas externas). 

Para que esta ley sea correcta, debe ser válida en todos los sistemas referenciales.

El problema es el siguiente: supongamos que estamos analizando un colisión de acuerdo con el referencial en reposo \(S\) y vemos que el momento lineal se conserva. 

Sin embargo, cuando usamos las Transformaciones de Lorentz para analizar la misma colisión de un referencial en movimiento \(S^\prime\), vemos que el momento lineal no se conserva si usamos la definición de momento lineal que usábamos hasta ahora:

\(\vec{p}=m \vec{v}\)

Pero el 1o postulado de Einstein (Principio de Relatividad) establece que “las leyes físicas son las mismas en cualquier sistema referencial inercial”. 

Por tanto, tenemos que hacer algo para que el principio de conservación del momento lineal siga siendo válido.

Relájate. No vale la pena preocuparte por deducciones, vayamos directo al grano. 

El momento lineal relativista de un cuerpo viene dado por:

\(\vec{p}=\frac{m \vec{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\gamma m \vec{v}\)

\(\text {Momento lineal relativista}\)

Donde \(v\) es la velocidad de la partícula, u objeto, del cual estamos calculando el momento lineal. 

Recordando que \(\gamma\) es el factor de Lorentz, dado por:

\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\)

¡Presta atención! Observa que la única diferencia entre esta fórmula y la anterior de momento lineal es \(\gamma\), que aparece multiplicando. Es como si \(\gamma\) fuese una especie de “factor de corrección” entre la que usábamos antes y la que utilizamos ahora. 

Quizá lo anterior facilite un poco el aprenderte las fórmulas… si no es el caso, simplemente olvídalo, ¿vale?

Graficamente, va a ocurrir esto: 

La línea roja representa la expresión de momento lineal que usábamos hasta ahora \(\bigg(\vec{p}=m \vec{v}\bigg)\) y la línea azul representa la expresión de momento lineal relativista. 

En el capítulo anterior vimos la definición de masa relativista…entonces podemos reescribir la expresión del momento lineal relativista de la siguiente manera: 

\(\vec{p}=m_{r} \vec{v}\)

Donde \(m_{r}\) es la masa relativista, dada por:

\(m_{r}=\gamma m=\frac{m}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\)

\((\text {Masa relativista})\)

Correlaciones importantes

Existen otras dos relaciones entre energía relativista y momento relativista muy importantes.

La primera ocurre cuando multiplicamos el momento relativista por \(c^{2}\) y lo comparamos con la energía. Mira:

\(p c^{2}=\gamma m v c^{2}=E v\)

\(\frac{v}{c}=\frac{p c}{E}\)

Esa es la primera relación.

La segunda es una ecuación que relaciona la energía total \(E\), la energía en reposo \(m c^{2}\) y el momento lineal \(p\), dada por:

\(E^{2}=\left(m c^{2}\right)^{2}+(p c)^{2}\) 

o 

\(\left(\gamma m c^{2}\right)^{2}=\left(m c^{2}\right)^{2}+(p c)^{2}\)

Sé que es un poco complicado... pero estas relaciones son muy importantes.