EDO de 2do orden con coeficientes constantes - Función escalón y delta de Dirac

Introducción

En esta ocasión veremos EDOs no homogéneas como la siguiente:

\[y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+1=f(t)\]

Pero esta \(f(t)\) no será una función cualquiera. Será una función que involucra un escalón o impulso. Por tanto, tenemos que saber ambos conceptos. 

Escalón

El escalón unitario es una función que vale \((0)\) a la izquierda de su punto central y \((1)\) a la derecha del mismo punto:

\[u(t-c)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<c \\ 1, & t>c\end{array}\right.\]

También podemos asociarle una función, que será:

\[f(t-c) u(t-c)=\left\{\begin{array}{lr}0, & t<c \\ f(t-c), & t>c\end{array}\right.\]

Su transformada será:

\[\mathscr{L}\{f(t-c) u(t-c)\}=e^{-c s} \mathscr{L}\{f(t)\}\]

Es decir, si tenemos el escalón multiplicando una función desplazada, tendremos la transformada de la función sin el desplazamiento por el exponencial.

Delta de Dirac

El delta de Dirac, o impulso, es una “especie” de fuerza provocada por un empujón, que dura muy poco tiempo, pero sus efectos no son despreciables. Un impulso aplicado en el instante \(t=c\) es:

\[\delta(t-c)=\left\{\begin{array}{ll}+\infty, & t=c \\ 0, & t \neq c\end{array}\right.\]

Es decir, la fuerza es masiva en un único punto y nula en el resto. Su transformada será:

\[\mathscr{L}\{\delta(t-c)\}=e^{-c s}\]

Si entendiste todo lo anterior sigamos, pero sino, te recomiendo darle un repaso al tema de tipos de escalón y delta de Dirac.

Resolviendo la EDO

Entonces, veamos un ejemplo práctico: resolver el siguiente problema

\[y^{\prime \prime}(x)+y(x)=\delta(t-2) ; \quad y(0)=y^{\prime}(0)=0\]

Bien, primero vamos a escribir las transformadas de las derivadas

\[L\left[y^{\prime}\prime(t)\right](s)=s^{2} L[y(t)](s)-s y(0)-y^{\prime}(0)\]

\[L\left[y^{\prime}(t)\right](s)=s L[y(t)](s)-y(0)\]

Si ahora aplicamos las condiciones iniciales, tendremos

\[L\left[y^{\prime} \prime(t)\right](s)=s^{2} L[y(t)](s)\]

\[L\left[y^{\prime}(t)\right](s)=s L[y(t)](s)\]

Además, utilizando la fórmula que acabamos de ver:

\[L[\delta(t-2)](s)=e^{-2 s}\]

Entonces, si aplicamos Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial tendremos:

\[L\left[y^{\prime \prime}(x)+y(x)\right](s)=L\left[y^{\prime \prime}(t)\right](s)+L[y(t)](s)=L[\delta(t-2)](s)\]

Usando las expresiones que acabamos de obtener:

\[s^{2} L[y(t)](s)+L[y(t)](s)=e^{-2 s}\]

¿Cual es el próximo paso? Reagrupar… 

\[L[y(t)](s)\left(s^{2}+1\right)=e^{-2 s} \rightarrow L[y(t)](s)=\frac{e^{-2 s}}{s^{2}+1}\]

Y ahora debemos hallar la transformada inversa, que en este caso será:

\[y(t)=\sin (t-2) u_{2}(t)\]

Así mismo, desplazado y multiplicado por un escalón debido al exponencial que aparece en la transformada. 😁

¿Y si tuviéramos un escalón en lugar de un delta? No aparecería el exponencial de la transformada del delta de Dirac. Sino que aparecería un escalón, pero el procedimiento es exactamente el mismo. ¡Vamos a los ejercicios!