Autovalores y Autovectores de una Matriz

Autovalores y Autovectores

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

En esta ocasión hablaremos sobre los autovectores.

Tenemos la siguiente matriz:

\[A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\]

Cuando la multiplicamos el vector \((1,0)\) por la matriz, tenemos que:

\[\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]\]

El resultado es el mismo vector pero multiplicado por \(2\), ¿verdad?

\[\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]\]

Cuando esto sucede (multiplicar un vector por una matriz y el resultado sea el mismo vector multiplicado por un número) decimos que el vector \((1,0)\) es un autovector asociado a una matriz (la matriz inicial \(A\)) y el número \(2\) es su autovalor.

Se dice que el autovalor es ​​\(\lambda=2\) (\(\lambda\) se dice “lambda”)

Veamos otro ejemplo. Esta vez vamos a multiplicar la matriz por el vector \((0,1)\).

\[\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]=1\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]\]

El número que aparece multiplicando el vector (el autovalor) es \(1\). Entonces, en este caso, \(\lambda=1\).

Recordando que cuando esto ocurre, decimos que \((0,1)\) es un autovector asociado al autovalor \(\lambda=1\).

Como el vector \((1,0)\) es un autovector asociado al autovalor \(\lambda=2\).

Cabe destacar que estamos designado valores arbitrarios a los autovalores para facilitar la explicación, pero más adelante aprenderemos a calcularlos.

Definición

Los autovalores son vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. En pocas palabras, son las direcciones “preservadas” de una matriz. Recuerda que, cuando multiplicamos un escalar por un vector, estamos conservando la dirección del vector. El autovalor es el nombre que le damos al número que está alterando la norma del vector.

Su definición es:

Solo que no es igual al de los ejemplos. Faltó decir que el autovector es un vector no nulo, por tanto, el vector nulo nunca podrá ser autovector aunque satisfaga la condición \(A b=\lambda b\).

Entonces, si multiplicamos la matriz dada por el autovector \(b\), tiene que ser igual a \(b\) multiplicado por su autovalor asociado.

Puntos a resaltar:

• Solo tiene sentido hablar de autovalores y autovectores cuando se trata de matrices cuadradas.

• Los autovalores y los autovectores siempre están juntos. Los autovalores siempre estarán asociados a sus autovectores y viceversa.

• Cada autovector solo puede estar asociado a un único autovalor.

• \(\lambda\) puede ser cero, pero \(v\) no. Si \(v=(0,0)\) fuese un autovector estaría asociado a infinitos autovalores.

• Por otro lado, nada impide que un autovalor esté asociado a distintos autovectores. Cuando esto sucede, decimos que el autovalor tiene multiplicidad \(n\), donde \(n\) es la dimensión de los autoespacios a los cuales el autovalor está asociado.

• Autovectores diferentes asociados a autovalores diferentes siempre serán \(LI\).

• Si te piden demostrar que un vector es un autovector, no basta con probar que \(A b=\lambda b\). También es necesario probar que \(b \neq 0\).

• Las matrices y polinomios que satisfagan las condiciones dadas, también serán autovectores.

Autoespacios

Un autoespacio es el conjunto generador de autovectores, es decir, una base de los autovectores para determinado autovalor.

Veamos un ejemplo:

Vamos a aplicar el vector \((2,0)\) en la matriz \(A\). Así:

\[\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right]\]

El vector \((2,0)\) también es un autovector asociado al autovalor \(\lambda=2\). Si, pero como sabemos, \((2,0)\) y \((1,0)\) son múltiplos. Además, si tomamos cualquiera de los otros múltiplos de \((1,0)\) y lo multiplicamos por la matriz \(A\), siempre tendremos como resultado autovectores asociados al autovalor \(\lambda=2\). 

Esto quiere decir que tendremos infinitos autovectores. Nunca encontrarás un solo autovector, porque siempre tendrás un espacio generador.

Entonces, los autovectores asociados al autovalor \(\lambda=2\) son el espacio generado por \(\{(1,0)\}\). Y para \(\lambda=1\), sus autovectores son \(\operatorname{span}\{(0,1)\}\), siendo estos los autoespacios.

Es decir, el autoespacio es el generador de los autovectores.

Puntos a resaltar:

• El vector nulo está contenido en el autoespacio de cualquier autovalor (si multiplicamos los vectores generadores por \(0\)), aunque los autovectores de \(\lambda\) no pueden ser nulos, por definición.

• El vector nulo satisface la definición de autoespacio, pero el vector nulo no satisface la definición de autovector.

Por tanto, podemos concluir que el autoespacio de \(\lambda\) (que tiene el vector nulo) es diferente al conjunto de autovectores de \(\lambda\) (que no tiene el vector nulo).

Nota: la suma de la dimensión de los autoespacios de una matriz siempre será menor o igual a la dimensión de su dominio (y codominio). Cuando la suma de la dimensión de los autoespacios de la matriz es igual a la dimensión de su dominio, decimos que tenemos una base de autovectores.

¿Y si el autovalor es cero?

Veamos un ejemplo:

Tenemos la siguiente matriz:

\[A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0\end{array}\right]\]

Vamos a hallar su núcleo. Para ello, resolveremos el sistema aumentando:

\[\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & 0\end{array}\right] \underset{\text { escalonando }}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

De la primera fila, tenemos:

\[x-y=0 \quad \Rightarrow \quad x=y\]

De esta forma, su núcleo será:

\[(y, y, z)=y(1,1,0)+z(0,0,1) \Rightarrow\]

\[\text {Nuc}(A)=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}\]

¿Espera… acaso el núcleo no son los vectores del dominio que satisfacen \(A b=0\)? Entonces, podemos interpretar como \(A b=0 \cdot b\). Y así, los vectores del núcleo SIEMPRE SON LOS AUTOVECTORES ASOCIADOS AL AUTOVALOR \(\lambda=0\).

Entonces, si \(\lambda\) es nulo, los autovectores asociados a \(\lambda=0\) son exactamente los elementos del \(\operatorname{Nuc}(A)\).

Podemos concluir que si \(A\) tiene un autovalor cero \((\lambda=0)\), entonces \(\text {Nuc}(A) \neq\{0\}\). Y por tanto, \(A\) no es inyectiva.

Para finalizar, un consejo:

¡Y eso es todo amigos, no olviden practicar en la sección de ejercicios!