Cálculo de Autovalores y Autovectores

¿Cómo hallar los autovalores y autovectores?

¡Bienvenidos, espero que estén genial! En esta ocasión aprenderemos a calcular los autovalores y autovectores.

Es más sencillo de lo que parece, pues simplemente tenemos que calcular las raíces del polinomio característico.

\[\mathbf{p}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda \mathrm{I})\]

Donde \(I\) es la matriz identidad y \(A\) su matriz.

Entonces, para hallar los autovalores tenemos que hacer \(p(\lambda)=0\). Vamos a hallar los autovalores de la matriz \(A\) a continuación:

\[A=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\]

\[\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]-\lambda\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda\end{array}\right] \Rightarrow\]

\[\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda\end{array}\right]\right)=0 \Rightarrow\]

\[(2-\lambda)(1-\lambda)=0\]

Por tanto, \(\lambda=2\) y \(\lambda=1\).

Existe otra manera de calcular autovalores. De forma general, para matrices \(n \times n\), tenemos:

\[\operatorname{det}(A)=\lambda_{1} \cdot \ldots \cdot \lambda_{n}\]

\[\operatorname{tr}(A)=\lambda_{1}+\ldots+\lambda_{n}\]

Siendo \(A\) la matriz, y \(t r\) la traza de \(A\).

Usando este método no podremos calcular nada, porque tenemos \(n\) variables y dos ecuaciones. Sin embargo, para matrices \(2 \times 2\), tenemos:

\[\operatorname{det}(A)=\lambda_{1} \cdot \lambda_{2}\]

\[\operatorname{tr}(A)=\lambda_{1}+\lambda_{2}\]

De esta forma podemos calcular los autovalores.

Y para hallar los autovectores, tenemos que:

\[A b=\lambda b\]

\[\text { o }\]

\[(A-\lambda I) b=0\]

Vamos a usar la primera para \(\lambda=2\):

\[\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

\[\left[\begin{array}{c}2 x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2 x \\ 2 y\end{array}\right]\]

\[\left\{\begin{array}{c}2 x=2 x \Rightarrow x=x \\ y=2 y \Rightarrow y=0\end{array}\right.\]

Entonces, los autovectores son \((x, 0)=x(1,0)\). Que es lo mismo que \(\operatorname{span}\{(1,0)\}\).

Y vamos a usar el último método para \(\lambda=1\):

\[\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2-1 & 0 \\ 0 & 1-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \Rightarrow\]

\[\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=0\]

Resolviendo el sistema hallamos que \(x=0\) y, por tanto, los autovectores son \((0, y)=y(0,1)\).

Entonces, haciendo un repaso:

• Determinamos los ceros de \(\operatorname{det}(A-\lambda I)=0\) para hallar los autovalores.

• Sustituimos los valores en la ecuación \((T-\lambda I) b=0\) para determinar los autovalores \(b\).

Multiplicidad

Si un autovalor tiene multiplicidad \(n), quiere decir que está asociado a un autoespacio de dimensión \(n\). Solo existen dos tipos de multiplicidad: algebráica y geométrica.

Imagina que tenemos la siguiente ecuación como polinomio característico de una matriz:

\[p(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda+3)\]

En este caso tenemos los autovalores \(-3\) y \(2\). Fijate que está elevado al cuadrado. Esto quiere decir que el autovalor \(2\) es raíz del polinomio dos veces, por lo que su multiplicidad algebráica es igual a \(2\).

Mientras que la multiplicidad geométrica está relacionada a la dimensión del autoespacio al cual el autovalor está asociado. Ambas multiplicidades se relacionan entre sí:

\[1 \leq \text { multiplicidad geométrica } \leq \text { multiplicidad algebráica }\]

¿Y eso qué quiere decir? Pues, todo autovalor está asociado a algún autovector. Entonces, la multiplicidad geométrica (la dimensión del autoespacio asociado al autovalor) tiene que ser, por lo menos, \(1\). Y esta siempre será menor o igual a la multiplicidad algebráica (el número de veces que el autovalor es raíz del polinomio característico).

Consejo

Los enunciados a continuación te serán muy útiles:

     \(\bullet\) El determinante de una matriz \(A\) es el producto de sus autovalores.

     \(\bullet\) La traza de una matriz \(A\) es la suma de sus autovalores.

     \(\bullet\) Los autovalores de \(A^{-1}\) son iguales a la inversa de los autovalores de \(A\). Los autovalores son los mismos.

     \(\bullet\) Los autovalores de \(A\) son iguales a los autovalores de \(A^{T}\).

     \(\bullet\) Los autovalores de una matriz triangular son los elementos de la diagonal.

     \(\bullet\) Si cambiamos de posición las filas y columnas de una matriz los autovalores seguirán siendo los mismos. Por ejemplo, si cambiamos la \(1^{era}\) fila con la segunda \(2^{da}\), tenemos que cambiar la \(1^{era}\) columna con la segunda \(2^{da}\).

¡Y eso es todo amigos, vamos a practicar en la sección de ejercicios!