Proyección y Reflexión

Ya sabemos que són los autovalores y los autovectores, además de cómo calcularlos.

Ponemos un vector y sale uno de sus múltiplos. ¿Para qué sirve eso?

Y es así cómo podemos entender el significado de una matriz, simplemente mirando sus autovalores y autovectores. Veamos un ejemplo:

\[\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\]

Calculando su autovalores y autovectores obtenemos el vector \((1,0)\) asociado al autovalor \(\lambda=-1\) y el autovector \((0,1)\) asociado al autovalor \(\lambda=1\). ¿Y qué significa eso? Quiere decir que la matriz es una reflexión con respecto al eje \(y\).

La matriz toma las coordenadas \(x\) de un vector y las multiplica por \(-1\) mientras que mantiene las coordenadas \(y\) iguales.

Entonces, si la aplicamos al vector \((3,2)\) tendremos como resultado el vector \((-3,2)\). Es decir:

\[\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3 \cdot(-1)+2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0+2 \cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3 \\ 2\end{array}\right]\]

Eso es lo que sucede. Si todavía no entiendes, mira el gráfico a continuación. La matriz es aplicada en los vectores azules y los convierte en los vectores naranjas.

Veamos otro ejemplo:

\[\left[\begin{array}{cc}1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 1 / 2\end{array}\right]\]

Esta matriz tiene el autovector \((1,1)\) asociado al autovalor \(1\) y el autovector \((-1,1)\) asociado al autovalor \(0\). Se trata de una proyección sobre la recta \(x=y\).

Esta matriz mantiene inalterada la componente de un vector que está sobre la recta \(x=y\) y convierte en cero la componente sobre \(x=-y\) (ortogonal a \(x=y\)).  Mira los siguientes gráficos. Nuevamente, la matriz es aplicada en el vector azul y lo convierte en el vector naranja.

Ya sabes que responder si te preguntan la función de una matriz.

Autovalores y Autovectores de una Proyección y una Reflexión

Imagina una base \(\beta\) formada por la base de un conjunto \(H\) con la base de \(H^{\perp}\) (espacio perpendicular a \(H\)).

Si la matriz representa la transformación de proyección, los vectores de la base de \(H\) serán autovectores asociados al autovalor \(0\) o \(1\). Mientras que los vectores de la base de \(H^{\perp}\) serán autovectores asociados al autovalor \(1\) o \(0\).

Es decir, cuando es \(0\) el otro es \(1\) y viceversa. Con el conocimiento que tenemos sabemos que no se trata de una coincidencia. Si la proyección convierte a los vectores de un espacio en \(0\), mantendrá los vectores del espacio ortogonal inalterados (autovalor \(1\)).

El espacio asociado al autovalor \(1\) siempre será el espacio donde se está proyectando.

Por otro lado, si la matriz representa la transformación de reflexión, los vectores de la base de \(H\) serán autovectores asociados al autovalor \(-1\) o \(1\). Mientras que los vectores de la base \(H^{\perp}\) serán autovectores asociados al autovalor \(1\) o \(-1\).

Es decir, cuando uno es \(-1\) el otro es \(1\) y viceversa. Esto se debe a que si la reflexión convierte los vectores de un espacio en su inversa (autovalor \(-1\)), mantendrá los vectores del espacio ortogonal inalterados (autovalor \(1\)).

El espacio asociado al autovalor \(1\) siempre será el espacio con respecto al cual se está reflejando.

En resúmen:

Es importante saber que podemos descubrir la dimensión del espacio sobre el cual la matriz se refleja o proyecta tan solo con su traza. Sabemos que la traza es la suma de los autovalores, y también sabemos que los autovalores de la proyección son \(1\) y \(0\), mientras que los de la reflexión son \(-1\) y \(1\).

Imagina que tienes una matriz de proyección \(5 \times 5\) con traza \(3\). Los autovalores tienen que ser \(1,1,1,0\) y \(0\). Por tanto, se está proyectando en un espacio de \(3\) dimensiones.

Y si tenemos la matriz de una reflexión \(4 \times 4\) con traza \(-2\). Los autovalores tienen que ser \(1,1,1,0\) y \(0\). Quiere decir que se está reflejando por una recta.

Si eres curioso(a), te estarás preguntando cuales son los autovalores de una matriz de rotación.

En general, las matrices de rotación tienen autovalores complejos. En el \(\mathbb{R}^{3}\) normalmente tendrá el autovalor \(1\) (la recta con respecto a la cual estamos rotando) y un par de autovalores complejos (si, los autovalores complejos siempre son pares). Mientras que en el \(\mathbb{R}^{2}\) tendrá un par de autovalores complejos.

Nota: si la matriz sólo tiene autovalores complejos no podrá conservar ninguna dirección y, por tanto, no tendrá autovectores.

El único caso en que la matriz de rotación no tiene autovalores complejos es cuando la rotación es de \(180^{\circ}\) o \(360^{\circ}\). En dichos casos asumirán el papel de una matriz reflexión y una matriz identidad, respectivamente.