Teorema Espectral

Existe una forma sencilla de comprobar si una matriz o una transformación es diagonalizable. En ciertas situaciones, podemos usar el Teorema Espectral.

Nota: lo siguiente aplica tanto para matrices como para transformaciones lineales. Si \(A\) es diagonalizable, sabemos que existe una \(T\) que es esa \(A\) en alguna base y, por tanto, si esta es diagonalizable todas las otras también lo son. 

En esta ocasión hablaremos sobre el teorema espectral, pero antes veamos los casos en que podemos aplicarlo.

Matrices Simétricas

El teorema espectral es utilizado para diagonalizar matrices simétricas.

Una matriz \(A\) es simétrica cuando \(A=A^{t}\), es decir, cuando los elementos fuera de la diagonal principal son simétricas (la diagonal será como un espejo):

\[A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 5\end{array}\right]\]

Si calculamos la transpuesta de \(A\) obtendremos la misma matriz, por tanto, \(A\) es simétrica.

Teorema espectral

La primera parte del teorema dice que si \(A\) es una matriz simétrica entonces será diagonalizable, ¿pero qué quiere decir la segunda parte?

Quiere decir que podemos escoger una base de vectores ortonormales formado por los autovectores. La pregunta es: ¿por qué querríamos una base ortonormal?

En el proceso de diagonalización, necesitamos hallar una matriz \(P\) y su inversa. Sin embargo, calcular una matriz inversa es complicado. Pero…, si la matriz \(P\) está compuesta por vectores ortonormales entonces sería una matriz ortogonal. Y cuando una matriz es ortogonal, sabemos que su inversa es igual a su transpuesta.

Entonces, si \(P\) es una matriz ortogonal y, por tanto, sus vectores columna son ortonormales, tenemos:

\[P^{-1}=P^{T}\]

Y así, es más fácil resolver el ejercicio. Ya que invertir una matriz es un proceso tedioso, mientras que la transpuesta no.

En este caso, la matriz diagonal es:

\[D=P^{T} \cdot A \cdot P\]

Y la matriz \(A\) puede ser escrita como:

\[A=P \cdot D \cdot P^{T}\]

Resumiendo el teorema espectral, si \(A\) es simétrica:

     \(\bullet\) \(A\) es diagonalizable

     \(\bullet\) Podemos (no es necesario) ortonormalizar los autovectores

     \(\bullet\) En dicho caso, \(P\) será ortogonal y, por tanto, \(P^{-1}=P^{T}\).

Sobre las matrices simétricas cabe destacar que los autovectores asociados a autovalores diferentes siempre son ortogonales.

Nota: si desde el principio tus autovectores no son ortogonales (puede pasar), además de normalizarlos tendremos que ortogonalizarlos. Para ello, utiliza el proceso de Gram-Schimdt o el Producto Vectorial para vectores del \(R^{3}\).