Construcción de Matrices y TLs

¡Bienvenidos, espero que estén genial! 

Los autovalores y autovectores nos pueden decir que hace una matriz.

Por ejemplo, si un autoespacio estuviera asociado al autovalor \(0\) y su complemento ortogonal estuviera asociado al autovalor \(1\), tendríamos una proyección. Por tanto, los autovalores y autovectores nos permiten entender el contexto de los números dentro de una matriz.

¿Y qué sentido tiene todo lo anterior? Pues bien, ahora que tenemos la diagonalización no necesitamos decir lo que hace una matriz. Es decir, podemos construir la matriz o \(TL\) que queramos.

Veamos un ejemplo.

Vamos a construir la matriz reflexión con respecto al plano \(3x-y+2z=0\) en el \(\mathrm{R^{3}}\).

Para hacerlo debemos recordar que una reflexión siempre tendrá dos autovalores: \(\lambda=-1\) y \(\lambda=1\).

Si estamos reflejando con respecto al plano \(3x-y+2z=0\), entonces los vectores de dicho plano no serán alterados. Por tanto, estarán asociados al autovalor \(1\). Vamos a descubrir cuáles son:

\[3 x-y+2 z=0 \Rightarrow y=3 x+2 z\]

Entonces los vectores del plano son:

\[(x, 3 x+2 z, z)=x(1,3,0)+z(0,2,1)\]

Una base para dicho subespacio son los vectores \((1,3,0)\) y \((0,2,1)\).

Finalmente, el complemento ortogonal de ese plano será el autoespacio asociado al autovalor \(-1\). Como estamos en el \(\mathrm{R}^{3}\), será un recta. Una base para dicha recta es el vector cuyas coordenadas son dadas por los coeficientes de la ecuación del plano:

\[3 x-y+2 z=0\]

\[(3,-1,2)\]

En resúmen, tenemos los autovectores \((1,3,0)\) y \((0,2,1)\) asociados al autovalor \(\lambda=1\). Y el autovector \((3,-1,2)\) asociado al autovalor \(\lambda=-1\).

Vamos a la parte de la diagonalización. Vamos a colocar los datos en la fórmula \(A=PDP^{-1}\):

\[D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\]

\[P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]\]

\[P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{5}{14} & \frac{3}{14} & \frac{-3}{7} \\ -\frac{3}{7} & \frac{1}{7} & \frac{5}{7} \\ \frac{3}{14} & -\frac{1}{14} & \frac{1}{7}\end{array}\right]\]

Vamos a calcular la matriz:

\[A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{5}{14} & \frac{3}{14} & \frac{-3}{7} \\ -\frac{3}{7} & \frac{1}{7} & \frac{5}{7} \\ \frac{3}{14} & -\frac{1}{14} & \frac{1}{7}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & -\frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{6}{7} & \frac{2}{7} \\ -\frac{6}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7}\end{array}\right]\]

Esa es la matriz. Pero si quisiéramos la \(TL\) tendríamos que aplicar el vector \((x,y,z)\) en la matriz:

\[T(x, y, z)=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & -\frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{6}{7} & \frac{2}{7} \\ -\frac{6}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\frac{1}{7}\left[\begin{array}{c}-2 x+3 y-6 z \\ 3 x+6 y+2 z \\ -6 x+2 y+3 z\end{array}\right]=\]

\[=\frac{1}{7}(-2 x+3 y-6 z, 3 x+6 y+2 z,-6 x+2 y+3 z)\]

Y eso es todo amigos, super fácil. No olviden seguir practicando en la sección de ejercicios.