Elevación de Matrices a Exponentes Reales

¡Bienvenidos, espero que estén genial! Ya deberían saber cómo elevar una matriz a un exponente. Por ejemplo, si:

\[A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]\]

Entonces:

\[A^{2}=A \cdot A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5 & 10 \\ 10 & 20\end{array}\right]\]

¿Y si quisiéramos elevar la matriz a la \(10\)? ¿La tendríamos que multiplicarla \(10\) veces? Sería fácil equivocarse.

Pero, si observamos con detenimiento, notamos que la matriz es simétrica. ¿Recuerdas el teorema espectral? Este dice que si una matriz es simétrica, entonces es diagonalizable.

Como la matriz \(A\) es simétrica, de acuerdo con el teorema espectral es diagonalizable, por tanto, existe una matriz \(P\) (invertible) y \(D\) (diagonal)  que son:

\[A=P \cdot D \cdot P^{-1}\]

Pero si elevamos al cuadrado en ambos lados:

\[A^{2}=A \cdot A=\left(P \cdot D \cdot P^{-1}\right) \cdot\left(P \cdot D \cdot P^{-1}\right)=P \cdot D \cdot \underbrace{P^{-1} P}_{I} \cdot D \cdot P^{-1}\]

\[A^{2}=P \cdot D \cdot D \cdot P^{-1}=P \cdot D^{2} \cdot P^{-1}\]

Como puedes ver, al elevar \(A^{2}\) solo la matriz diagonal \(D\) quedó elevada al cuadrado. Y esto no solo funciona cuando elevamos al cuadrado, podemos decir que si una matriz es diagonalizable, dicha matriz elevada a un exponente es igual a:

\[A^{k}=P \cdot D^{k} \cdot P^{-1}\]

“Pero todavía tenemos que multiplicar \(K\) por la matriz diagonal”… En realidad no. Veamos un ejemplo para entender mejor:

Calcular la matriz \(A^{10}\) con:

\[A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]\]

Primero, vamos a encontrar los autovalores a través del \(\operatorname{det}(A-\lambda I)=0\):

\[\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 2 \\ 2 & 4-\lambda\end{array}\right]=0\]

\[(1-\lambda)(4-\lambda)-4=0\]

\[\lambda^{2}-5=0\]

\(\lambda_{1}=0\) y \(\lambda_{2}=5\).

Hallamos que los autovalores son \(\lambda_{1}=0\) y \(\lambda_{2}=5\) y sus respectivos autoespacios son:

\[V_{\lambda=0}=\operatorname{span}\{(-2,1)\}\]

\[V_{\lambda=5}=\operatorname{span}\left\{\left(\frac{1}{2}, 1\right)\right\}\]

Ya sabemos que \(A\) es diagonalizable, entonces vamos a hallar las matrices \(D\), \(P\) y \(P^{-1}\) a través de los autovalores y autovectores:

\[D=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 5\end{array}\right]\]

\[P=\left[\begin{array}{cc}-2 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1\end{array}\right]\]

\[P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right]\]

Queremos calcular \(A^{10}\), entonces si colocamos en la fórmula:

\[A^{10}=P \cdot D^{10} \cdot P^{-1}\]

Debemos calcular \(D^{10}\). Parece complicado, así que vamos a comenzar con \(D^{2}\).

\[D^{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 5\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 25\end{array}\right]\]

Como puedes notar el resultado fue cada uno de los autovalores al cuadrado.

\[0^{2}=0\]

\[5^{2}=25\]

¡Y no es casualidad! Cuando tengamos una matriz diagonal elevada a un exponente, solo tenemos que elevar cada uno de los elementos de la diagonal al mismo exponente:

\[D^{k}=\left[\begin{array}{ccccc}\lambda_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}^{k} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1}^{k} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n}^{k}\end{array}\right]\]

Y así, en lugar de hacerlo manualmente, podemos calcular \(D^{10}\) rápidamente.

\[D^{10}=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 5^{10}\end{array}\right]\]

Ya podemos calcular la matriz \(A^{10}\):

\[A^{10}=P \cdot D^{10} \cdot P^{-1}\]

\[A^{10}=\left[\begin{array}{cc}-2 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 5^{10}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}-\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{4}{5}\end{array}\right]\]

\[A^{10}=\left[\begin{array}{ll}1953125 & 3906250 \\ 3906250 & 7812500\end{array}\right]\]

En resúmen:

     \(\bullet\) Siempre que tengamos que calcular una matriz diagonalizable elevada a un exponente podemos usar la fórmula:

\[A^{k}=P \cdot D^{k} \cdot P^{-1}\]

     \(\bullet\) Para calcular \(D^{k}\) utilizamos:

\[D^{k}=\left[\begin{array}{ccccc}\lambda_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2}^{k} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1}^{k} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n}^{k}\end{array}\right]\]

Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios.