Clasificación de Formas Cuadráticas

¡Bienvenidos, espero estén genial! En esta ocasión veremos la clasificación de formas cuadráticas.

Una forma cuadrática es una función de tipo:

\[f(x, y)=a x^{2}+b x y+c y^{2}\]

Este tipo de función puede ser clasificada como:

     \(\bullet\) Definida positiva \(\rightarrow f(x, y)>0\) para todo \(x, y \in \mathbb{R}\) no nulo

     \(\bullet\) Definida negativa \(\rightarrow f(x, y)<0\) para todo \(x, y \in \mathbb{R}\) no nulo

     \(\bullet\) Semidefinida positiva \(\rightarrow f(x, y) \geq 0\) para todo \(x, y \in \mathbb{R}\) no nulo

     \(\bullet\) Semidefinida negativa \(\rightarrow f(x, y) \leq 0\) para todo \(x, y \in \mathbb{R}\) no nulo

     \(\bullet\) Indefinida \(\rightarrow f(x, y)\) puede ser positivo o negativo dependiendo de \(x\) y \(y\).

“¿Y cómo se clasifica?” Primero debemos escribirla de una determinada forma. Veamos un ejemplo:

Tenemos \(f(x, y)=2 x^{2}-4 x y+2 y^{2}\). Esta función puede ser escrita en la forma:

\[f(x, y)=2 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -2 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

 Como podemos ver, la matriz \(\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -2 & 2\end{array}\right]\) es simétrica y, por tanto, diagonalizable. Si calculamos sus autovalores obtendremos \(0\) y \(4\). Si la diagonalizamos tendremos:

\[2 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -2 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right] P\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right] P^{-1}\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

Por ser simétrica, la matriz, además de ser diagonalizable, también tiene una base ortonormal de autovectores. Es decir, podemos hallar una matriz de autovectores \(P\) ortogonal, de forma que \(P^{-1}=P^{T}\). Si hacemos \(P=Q^{T} \Leftrightarrow P^{T}=Q\), tenemos:

\[2 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right] Q^{T}\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right] Q\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

Decimos que \(v=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\) y \(v^{T}=\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\). Y definimos \(w=Q v \Longleftrightarrow w^{T}=v^{T} Q^{T}\). Entonces:

\[2 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=w^{T}\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right] w\]

De forma general, tenemos \(w=\left[\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right]\), por tanto:

\[2 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=\left[\begin{array}{ll}a & b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right]\]

Si hacemos el producto:

\[2 x^{2}-4 x y+2 y^{2}=\left[\begin{array}{ll}a & b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}a & b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0 \\ 4 b\end{array}\right]=4 b^{2}\]

Tenemos que \(b^{2} \geq 0\) para vectores \((a, b) \neq(0,0)\), entonces esa forma cuadrática es semidefinida positiva.

En general, el procedimiento es:

Dada una forma cuadrática:

\[f(x, y)=a x^{2}+b x y+c y^{2}\]

Paso 1: reescribir la función de la forma indicada:

\[\left[\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

Paso 2: hallar los autovalores de la matriz \(\left[\begin{array}{ll}a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c\end{array}\right]\) y reescribir nuevamente la función como:

\[\left[\begin{array}{ll}a & b\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right]\]

Paso 3: si todos los autovalores son positivos, la función es definida positiva. Si todos los autovalores son negativos, la función es definida negativa. Si la función solo tiene un autovalor nulo y positivo, es semidefinida positiva. Si la función solo tiene un autovalor nulo y negativo, es semidefinida negativa. De lo contrario, la función será indefinida. 

Nota: en lugar de calcular los autovalores podemos hacer un análisis mediante el determinante y la traza de la matriz. Como el determinante es el producto de los autovalores, si este es menor que cero, la función es indefinida.

Si el determinante es mayor que cero, hallamos la traza de la matriz (suma de los autovalores). Si la traza es positiva, la función es positiva definida.

Si el determinante es igual a cero, hallamos la traza de la matriz. Si la traza es positiva, la función es semidefinida positiva. Si es negativa, la función es semidefinida negativa.

Clasificación para funciones de \(3\) variables

Del mismo modo, podemos clasificar las funciones de tipo:

\[f(x, y, z)=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+d x y+e x z+f y z\]

Paso 1: reescribir la función de la siguiente forma: 

\[\left[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a & \frac{d}{2} & \frac{e}{2} \\ \frac{d}{2} & b & \frac{f}{2} \\ \frac{e}{2} & \frac{f}{2} & c\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]\]

Paso 2: hallar los autovalores de la matriz \(\left[\begin{array}{ccc}a & \frac{d}{2} & \frac{e}{2} \\ \frac{d}{2} & b & \frac{f}{2} \\ \frac{e}{2} & \frac{f}{2} & c\end{array}\right]\) y reescribir la función nuevamente como:

\[\left[\begin{array}{lll}a & b & c\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right]\]

Paso 3: si todos los autovalores son positivos, la función es definida positiva. Si todos los autovalores son negativos, la función es definida negativa. Si la función solo tiene autovalores nulos y positivos, es semidefinida positiva. Si la función solo tiene autovalores nulos y negativos, es semidefinida negativa. De lo contrario, la función será indefinida.

Nota: el análisis del determinante y la traza no aplica para casos en donde se trabaja con \(3\) autovalores.