Introducción a los Espacios Complejos

Los números complejos

Son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. Estos surgen al resolver algunas ecuaciones, como por ejemplo:

\[x^{2}+1=0 \Rightarrow x^{2}=-1\]

Como sabrás, ningún número real multiplicado por sí mismo da como resultado \(-1\). Pero si definimos:

\[i=\sqrt{-1}\]

Decimos que \(i\) es una unidad imaginaria.

Entonces, podemos decir que un número complejo es cualquier valor que pueda ser escrito como \(x+i y\), con \(x, y \in \mathbb{R}\). El conjunto \(\mathbb{C}\) de los complejos está conformado por todos los números de ese tipo. Algunos ejemplos son:

     \(\bullet\) \(i\)

     \(\bullet\) \(2+3 i\)

     \(\bullet\) \(4\)

Si, los números reales también son números complejos, solo tienes que colocar \(y=0\). Para tener: \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\). Ten en cuenta que para que dos números complejos sean iguales debemos tener:

\[\begin{array}{c} z_{1}=x_{1}+i y_{1} \\ z_{2}=x_{2}+i y_{2} \\z_{1}=z_{2} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{c}x_{1}=x_{2} \\ y_{1}=y_{2}\end{array}\]

Es decir, las partes reales e imaginarias son separadas. Para que dos complejos sean iguales, sus partes también tienen que ser iguales por separado.

Para sumar complejos tenemos que:

\[\left(x_{1}+i y_{1}\right)+\left(x_{2}+i y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)+i\left(y_{1}+y_{2}\right)\]  

Y para multiplicarlos:

\[\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}+i y_{2}\right)=x_{1} x_{2}+i x_{1} y_{2}+i x_{2} y_{1}+i^{2} y_{1} y_{2}\]

Y como \(i^{2}=-1\):

\[\left(x_{1}+i y_{1}\right)\left(x_{2}+i y_{2}\right)=\left(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}\right)+i\left(x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}\right)\]

Algunos ejemplos:

     \(\bullet\) \((2+3 i)+(-1+i)=1+4 i\)

     \(\bullet\) \((2+3 i)(-1+i)=-2+2 i-3 i+3 i^{2}=-5-i\)

Para terminar, vamos el definir el conjugado \(\bar{z}\) de un complejo \(z\):

\[x=x+i y \Rightarrow \bar{z}=x-i y\]

Por ejemplo, el conjugado de \(2+3 i\) es \(2-3 i\).

Espacios complejos

Los espacios complejos son espacios vectoriales en los cuales, en lugar de usar solamente números reales, usamos números complejos. De acuerdo con esta definición, casi todo lo que hemos estudiado para espacios reales es válido para los complejos, subespacios, bases, transformaciones, etc.

Por ejemplo, podemos definir un operador sobre el espacio complejo \(\mathbb{C}^{2}\) como:

\[T\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left((1+i) z_{1}-2 z_{2}, i z_{1}+(3-i) z_{2}\right)\]

Recordando que el operador es una transformación lineal cuyo dominio es igual al codominio.

La matriz de dicha transformación en la base canónica de \(\mathbb{C}^{2}\), \(Can=\{(1,0),(0,1)\}\), es:

\[[T]_{C a n}=\left(\begin{array}{cc}1+i & -2 \\ i & 3-i\end{array}\right)\]

Nota: también podemos considerar a \(\mathbb {C}^{2}\) como un espacio real. En ese caso la base canónica de \(\mathbb {C}^{2}\) será \(Can=\{(1,0),(i, 0),(0,1),(0, i)\}\). Con esa consideración, cualquiera que sea el operador \(T\), su matriz solo podrá tener valores reales. En general, si un espacio es de dimensión \(n\), sobre \(\mathbb {C}\), será de dimensión \(2n\) sobre \(\mathbb{R}\).

Una diferencia entre los espacios reales y los complejos es la definición del producto interno.

Si la definición fuera la misma, tendríamos un problema por ejemplo con el producto interno canónico en \(\mathbb{C}^{1}\):

\[\langle i, i\rangle=i \cdot i=-1<0\]

Que va contra el axioma:

\[\langle u, u\rangle \geq 0\]

Entonces, para solucionar estos problemas, en el caso complejo, el axioma de la simetría:

\[\langle u, v\rangle=\langle v, u\rangle\]

Es un poco diferente:

\[\langle u, v\rangle=\langle\bar{v}, u\rangle\]

Ten en cuenta que este axioma engloba el antiguo ya que si \(v\) es real tenemos \(\bar{v}=v\). El producto interno canónico en \(\mathbb{C}^{n}\) es:

\[\left\langle\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right),\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)\right\rangle=x_{1} \overline{y_{1}}+x_{2} \overline{y_{2}}+\ldots+x_{n} \overline{y_{n}}\]

Por ejemplo, el producto interno de \(z_{1}=(1+i, 2+3 i)\) y \(z_{2}=(-2-i, i)\) es:

\[\langle(1+i, 2+3 i),(-2-i, i)\rangle=(1+i)(-2+i)+(2+3 i)(-i)\]

\[\langle(1+i, 2+3 i),(-2-i, i)\rangle=-2+i-2 i+i^{2}-2 i-3 i^{2}=-3 i\]

En los espacios complejos el teorema espectral también es diferente, pero en esta ocasión no lo abordaremos, solo recuerda no usarlo cuando aparezcan \(i\) en el ejercicio.

¡Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!