Producto Vectorial

¿Cómo calcular el producto vectorial?

El producto vectorial siempre genera un vector perpendicular a los vectores multiplicados. Recordando que solo está definido en el \(\mathbb{R}^{3}\).

Notación: el producto vectorial entre dos vectores \(\mathrm{u}, \mathrm{v} \in \mathbb{R}^{n}\) es denotado como \(\mathrm{v} \times \mathrm{u}\).

Siendo \(\mathrm{u}, \mathrm{v} \in \mathbb{R}^{n}\), el producto vectorial de ellos es \(\mathrm {v} \times \mathrm{u}=\mathrm{w}\), mira el gráfico:

¿Y cómo calculamos el tercer vector?

Como el resultado del producto vectorial genera un vector y no un número real, las cosas son diferentes, sin embargo, podemos usar el determinante para calcularlo.

Entonces, siendo \(\mathrm{u}=\left(\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \mathrm{u}_{3}\right)\) y \(\mathrm{v}=\left(\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}, \mathrm{v}_{3}\right)\), el vector \(\operatorname {w}\) será:

\[\mathrm{w}=\mathrm{v} \times \mathrm{u}=\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\ \mathrm{v}_{1} & \mathrm{v}_{2} & \mathrm{v}_{3} \\ \mathrm{u}_{1} & \mathrm{u}_{2} & \mathrm{u}_{3}\end{array}\right|\]

Aplicando cualquiera de los métodos para calcular determinantes, podemos ver que:

\[\mathrm{w}=\mathrm{u}_{3} \mathrm{v}_{2} \mathrm{i}+\mathrm{u}_{2} \mathrm{v}_{1} \mathrm{k}+\mathrm{u}_{1} \mathrm{v}_{3} \mathrm{j}-\mathrm{v}_{2} \mathrm{u}_{1} \mathrm{k}-\mathrm{v}_{3} \mathrm{u}_{2} \mathrm{i}-\mathrm{u}_{3} \mathrm{v}_{1} \mathrm{j} \Rightarrow\]

\[\mathrm{w}=\left(\mathrm{v}_{2} \mathrm{u}_{3}-\mathrm{u}_{2} \mathrm{v}_{3}\right) \mathrm{i}+\left(\mathrm{u}_{1} \mathrm{v}_{3}-\mathrm{u}_{3} \mathrm{v}_{1}\right) \mathrm{j}+\left(\mathrm{v}_{1} \mathrm{u}_{2}-\mathrm{u}_{1} \mathrm{v}_{2}\right) \mathrm{k}\]

Siendo \(\mathrm{i}, \mathrm{j}, \text { y } \mathrm{k}\) los vectores de la base canónica del \(\mathbb{R}^{3}\), como, \(\mathrm{i}=(1,0,0), \mathrm{j}=(0,1,0), \mathrm{k}=(0,0,1)\), las coordenadas del vector serán:

\[\mathrm{w}=\left(\mathrm{u}_{2} \mathrm{v}_{3}-\mathrm{v}_{2} \mathrm{u}_{3}, \quad \mathrm{u}_{3} \mathrm{v}_{1}-\mathrm{u}_{1} \mathrm{v}_{3}, \quad \mathrm{u}_{1} \mathrm{v}_{2}-\mathrm{v}_{1} \mathrm{u}_{2}\right)\]

Solo tenemos que poner los vectores en una matriz y calcular el determinante, pero existen algunas cosas que debes saber antes de aplicar la fórmula.

A diferencia del producto interno, el orden del producto vectorial si importa. Es decir, \(\mathrm{v} \times \mathrm{u} \neq \mathrm{u} \times \mathrm{v}\).

Como puedes ver, la primera fila está compuesta por los vectores unitarios, la segunda fila está compuesta por las coordenadas del primer vector del producto y la última fila está compuesta por las coordenadas del último vector del producto.

Si cambiamos las dos últimas filas de lugar tendríamos \(u \times v\) en lugar de \(v \times u\).

También recuerda que si cambiamos dos filas de lugar en una matriz, su determinante cambia de signo. Y de hecho, es lo que sucede. 

Ejemplo: halle el vector perpendicular a los vectores \(\mathrm{u}=(1,1,0) \text { y } \mathrm{v}=(0,1,2)\). Simplemente tenemos que hacer el producto vectorial entre los dos vectores:

\[\operatorname {w}= \operatorname {u} \times \operatorname {v}=\left|\begin{array}{lll}\operatorname {i} & \operatorname {j} & \operatorname {k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right| \Rightarrow\]

\[\mathrm{w}=2 \mathrm{i}+0 \cdot \mathrm{j}+\mathrm{k}-0 \cdot \mathrm{k}-0 \cdot \mathrm{i}-2 \mathrm{j}=2 \mathrm{i}-2 \mathrm{j}+\mathrm{k} \Rightarrow\]

\[\mathrm{w}=(2,-2,1)\]

Regla de la mano derecha

Imagina que no necesitas del vector generado por el producto vectorial sino tan sólo su dirección. Pues es posible, a través de la regla de la mano derecha.

Existen varias maneras de usar la regla de la mano derecha, en esta ocasión intentaré explicarte una.

Nota: se llama regla de la mano derecha porque es esta mano la que debe ser utilizada.

Notación: vamos a decir que \(\mathrm{v} \times B\) es \(\mathrm{v}\) vetorial \(B\).

Si queremos hacer \(\mathrm{v} \times B\), tendremos que:

Para hacer el producto vectorial debemos seguir los siguientes pasos:

Poner la mano derecha, de la forma en que se muestra, y colocarla encima del primer vector, en este caso \(v\), ya que estamos haciendo \(\mathrm{v}\) vetorial \(B\).

Mueve la mano en el sentido en que está el otro vector con la PALMA de la mano. En este caso \(B\). Vale la pena resaltar que vas a escoger el camino más corto entre los dos vectores, pero siempre optamos por la menor distancia.

Mira hacia donde está apuntando tu pulgar. Este será el sentido del vector perpendicular.

Veamos el primer gráfico:

Si hacemos, \(\mathrm{u} \times \mathrm{v}\), como es \(\mathrm {u}\) vectorial \(\mathrm {v}\), tomas tu mano y la pones encima del vector \(\mathrm{u}\) y apuntas tu palma hacia el vector \(\mathrm{v}\) y giras hacia él. Ten en cuenta que si haces esto, tu pulgar estará hacia abajo; porque la forma más corta de rotar la palma de la mano hacia el vector es con el pulgar hacia abajo. ¿Entendido?

Propiedades del Producto Vectorial

A continuación algunas de las propiedades del producto vectorial:

\(\operatorname {a)}\) \(u \times u=0\)

\(\operatorname {b)}\) \(u \times v=-(v \times u)\)

\(\operatorname {c)}\) \((u+k v) \times w=u \times w+k v \times w\)

\(\operatorname {d)}\) \(u \times v\) es perpendicular a \(u\) y \(v\).

Eso es todo amigos, nos vemos pronto. ¡No olviden pasar por los ejercicios!