Propiedades de los Determinantes

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

En esta ocasión conoceremos las propiedades de los determinantes.

Entre ellas tenemos:

\(1.\) Determinante y dependencia o independencia lineal

\(\operatorname{det}(A)=0\) si, y solamente si, \(A\) tiene filas o columnas \(L D\).

Sabes que, si \(A\) es \(L D\), su determinante es cero. Y si su determinante es cero, esta es \(L D\).

\(2.\) Linealidad del determinante

El determinante es lineal en cada columna. Entonces:

\[\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}\uparrow & \uparrow \\ k u+v & w \\ \downarrow & \downarrow\end{array}\right]\right)=k \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}\uparrow & \uparrow \\ u & w \\ \downarrow & \downarrow\end{array}\right]\right)+\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}\uparrow & \uparrow \\ v & w \\ \downarrow & \downarrow\end{array}\right]\right)\]

\(3.\) Determinante de la matriz identidad

El determinante de la matriz identidad es \(1\):

\[\operatorname{det}(I)=1\]

Es fácil saberlo si recordamos que el determinante de una matriz triangular superior es el producto de los elementos de su diagonal principal. La matriz identidad solo tiene \(1\) diagonal, por tanto, su determinante tiene que valer \(1\).

\(4.\) Determinante de la matriz transpuesta

La matriz transpuesta es aquella en que los vectores de las columnas de la matriz original se colocan en las filas de otra matriz. Entonces, el determinante de la matriz transpuesta es igual al de la matriz original:

\[\operatorname{det} A=\operatorname{det}\left(A^{T}\right)\]

Veamos un ejemplo:

\[\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 1 & 3\end{array}\right], \mathrm{A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -2 & 3\end{array}\right]\]

\[\operatorname{det} \mathrm{A}=3 \cdot 2-1 \cdot(-2)=8=\operatorname{det} \mathrm{A}^{\mathrm{T}}\]

\(5.\) Determinante del producto

El determinante del producto el es producto de los determinantes:

\[\operatorname{det}(\mathrm{A} \cdot \mathrm{B})=\operatorname{det} \mathrm{A} \times \operatorname{det} \mathrm{B}\]

Por ejemplo:

\[\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right]\]

Multiplicando:

\[\mathrm{A} \cdot \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5 & 9 \\ 7 & 13\end{array}\right]\]

Calculando los determinantes de cada matriz:

\[\operatorname{det} \mathrm{A}=1 \cdot 3-1 \cdot 2=1\]

\[\operatorname{det} \mathrm{B}=1 \times 4-2 \times 1=2\]

\[\operatorname{det}(\mathrm{A} \cdot \mathrm{B})=5 \cdot 13-7 \cdot 9=65-63=2\]

Y, de hecho, \(2=2 \cdot 1\).

Nota: cuidado, el determinante del producto es el producto de los determinantes, pero el determinante de la suma NO es necesariamente igual a la suma de los determinantes.

\(6.\) Determinante de la matriz inversa

El determinante de la matriz inversa es igual a la inversa del determinante.

Entonces:

\[\mathrm{A} \cdot \mathrm{A}^{-1}=\mathrm{I}\]

Pero sabemos que \(\operatorname{det} \mathrm{I}=1\), entonces:

\[\operatorname{det}\left(\mathrm{A} \cdot \mathrm{A}^{-1}\right)=1\]

Sin embargo, por la propiedad del determinante del producto, que acabamos de ver:

\[\operatorname{det} \mathrm{A} \times \operatorname{det} \mathrm{A}^{-1}=1\]

\[\operatorname{det} \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} \mathrm{A}}\]

Es decir, no necesitas calcular la inversa para hallar su determinante.

También, ten en cuenta que si el determinante de una matriz es igual a cero, no será invertible. De lo contrario, el determinante de su inversa sería \(\frac{1}{0}\).

\(7.\) Determinante de una matriz ortogonal

Las matrices ortogonales son aquellas cuya transpuesta es igual a la inversa. Por ejemplo: la matriz identidad, matriz rotación o matriz reflexión.

Lo que sucede es que el determinante en esas matrices siempre será \(1\) o \(-1\). Porque si la matriz transpuesta es igual a la inversa, sus determinantes también tienen que ser iguales. Entonces:

\[\operatorname{det}\left(A^{T}\right)=\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)\]

Pero sabemos que:

\[\operatorname{det}\left(A^{T}\right)=\operatorname{det}(A)\]

\[\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\]

Juntando estos datos, tenemos:

\[\operatorname{det}(A)=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \Rightarrow \operatorname{det}(A)^{2}=1 \Rightarrow \operatorname{det}(A)=\pm 1\]

Además de las propiedades, existe un teorema que podemos usar en el álgebra lineal.