Regla de Sarrus

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén genial! En esta ocasión vamos a aprender a calcular determinantes, pero antes una pregunta.

“¿Qué es un determinante?”

Un determinante es una función de \(\mathbb{M}_{\mathrm{n} \times \mathrm{n}}\) en \(\mathbb{R}\).

¿Y eso qué significa? Que cualquier elemento del espacio de las matrices cuadradas se transforma en un número real.

Notación: siempre se usan “dos barras” \(\rightarrow |\space|\), en lugar de corchetes \([\space]\), para indiciar que se trata de determinantes. Por ejemplo, el determinante de la matriz:

\[A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]\]

Es denotado por:

\[\operatorname{det}(\mathrm{A})=\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|\]

Es importante que sepas que: si la matriz tiene filas o columnas \(LD\), su determinante siempre será cero. ¡Absolutamente siempre!

De forma que, sin haber calculado el determinante de esta matriz, ya lo sabrías:

\[\left[\begin{array}{lllllll}1 & 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 6 & 5 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 4 & 6 & 5 & 3 & 1 \\ 4 & 4 & 8 & 4 & 8 & 5 & 9 \\ 5 & 5 & 2 & 7 & 4 & 4 & 6 \\ 6 & 6 & 4 & 8 & 6 & 8 & 4 \\ 7 & 7 & 7 & 9 & 5 & 2 & 7\end{array}\right]\]

Las dos primeras columnas son iguales, son \(LD\), por tanto, el determinante es cero.

Más adelante veremos algunas de las propiedades del determinante.

Regla de Sarrus

Para calcular el determinante de matrices \(2 \times 2\) y \(3 \times 3\), usaremos la regla de Sarrus. Para determinantes \(4 \times 4\) en adelante usaremos otros métodos.

Para matrices \(2 \times 2\) es sencillo.

La fórmula es:

\[\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right]=\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right|=\mathrm{ad}-\mathrm{b} \mathrm{c}\]

Por ejemplo, vamos a calcular el determinante de la siguiente matriz:

\[\mathrm{M}=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right]\]

El determinante será:

\[\operatorname{det}(M)=1 \cdot 4-3 \cdot 2=4-6=-2\]

Entonces, el determinante de \(\operatorname {M}\) es \(-2\)

Un determinante \(3 \times 3\) es calculado así:

\[\left|\begin{array}{lll}\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\ \mathrm{d} & \mathrm{e} & \mathrm{f} \\ \mathrm{g} & \mathrm{h} & \mathrm{i}\end{array}\right|=\mathrm{aei}+\mathrm{bfg}+\mathrm{cdh}-\mathrm{ceg}-\mathrm{fh} \mathrm{a}-\mathrm{idb}\]

Existe un método que nos permite calcular los determinantes \(3 \times 3\) de forma sencilla. Veamos un ejemplo:

\[A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & -4 & 1\end{array}\right]\]

Paso 1: repetir las dos primeras columnas al lado del determinante

Paso 2: trazar las líneas en la diagonal principal y en las dos diagonales siguientes, colocando un signo \(+\) arriba.

Esto nos indicará que debemos multiplicar los números de cada diagonal y asignarles el signo \((+)\). En el caso del ejemplo:

\[(1 \cdot 3 \cdot 1)+(2 \cdot 1 \cdot(-1))+(1 \cdot 2 \cdot(-4))\]

\[=3+(-2)+(-8)\]

\[=-7\]

Paso 3: repetir el procedimiento con la diagonal secundaria y las dos siguientes, asignándoles el signo de menos \((-)\):

Repitiendo:

\[-(1 \cdot 3 \cdot(-1))-(1 \cdot 1 \cdot(-4))-(2 \cdot 2 \cdot 1)\]

\[=-(-3)-(-4)-4\]

\[=3\]

Paso 4:  sumar los resultados:

\[\operatorname{det}(\mathrm{A})=-7+3=-4\]

Es sencillo, sin embargo, te daré un pequeño truco para que el proceso no sea tan tedioso.

Para los positivos:

Para los negativos: