Teorema de Laplace

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

Como sabrán, la regla de Sarrus solo funciona para matrices \(2  \times 2\) y \(3 \times 3\). En esta ocasión aprenderemos a calcular el determinante de una matriz \(4 \times 4\) y para ello utilizaremos el teorema de Laplace.

Antes de comenzar, debemos conocer el concepto de “cofactor”. Veamos: 

Cofactor

\[\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 17\end{array}\right]\]

La matriz anterior es un cofactor.

Ahora mira esta:

\[\mathrm{A}_{23}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\ 9 & 10 & 12 \\ 13 & 14 & 17\end{array}\right]\]

¿Notas alguna semejanza?

La matriz \(\mathrm{A}_{23}\) es casi igual a la matriz \(\mathrm{A}\), solo que sin la \(2^{da}\) fila ni la \(3^{era}\) columna. Mira:

Simplemente elimine las filas rojas.  ¿Y por qué es importante esta matriz?

En realidad no lo es, sino su determinante.

A partir de ahora llamaremos como “menor complementario” de un elemento \(a_{ij}\) al determinante de la matriz \(A_{ij}\) (que es la matriz \(A\) sin la fila \(i\) ni la columna \(j\)).

Es decir, el determinante de la matriz \(\mathrm{A}_{23}\) es el menor complementario del \(7\) (que es \(a_{ij}\) de la matriz \(A\)).

En resumen: el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y la columna en que está un cierto elemento \(a_{ij}\) es su menor complementario.

No confundas el elemento \(a_{23}\) con la matriz \(A_{23}\).

El cofactor (representado por \(\Delta_{\mathrm{ij}}\)) de un elemento \(a_{ij}\) puede ser definido como:

\[\Delta_{\mathrm{ij}}=(-1)^{\mathrm{i}+\mathrm{j}} \operatorname{det}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{ij}}\right)\]

Recuerda que el \(\operatorname{det} A_{i j}\) es el menor complementario.

\((-1)^{\mathrm{i}+\mathrm{j}}\) solo sirve para descubrir el signo del cofactor.

Es decir, si el elemento está en la \(2^{da}\) fila y la \(3^{era}\) columna, \((-1)^{\mathrm{i}+\mathrm{j}}=(-1)^{2+3}=(-1)^{5}=-1\), entonces el signo es negativo.

Si el elemento estuviera en la \(2^{da}\) fila y la \(4^{era}\) columna, \((-1)^{\mathrm{i}+\mathrm{j}}=(-1)^{2+4}=(-1)^{6}=+1\), entonces el signo sería positivo.

Entonces, podemos decir que el cofactor es el determinante del “menor complementario”, pero con signo.

Teorema de Laplace

Es importante saber todo lo anterior para calcular determinantes.

Podemos calcular determinantes de gran tamaño con Laplace; así como en aquellos casos en que el determinante tiene muchos ceros.

Para aplicar el teorema tenemos que hacer lo siguiente:

\(\bullet\) Escoger una fila o columna (preferiblemente el que tenga más ceros)

\(\bullet\) Multiplicar el elemento del menor complementario por su cofactor.

\(\bullet\) Sumar todo.

Si el resultado es un determinante el cual no puedes calcular debes repetir el proceso.

Veamos un ejemplo:

\[\operatorname{det} \mathrm{M}=\left|\begin{array}{cccc}-2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right|\]

Como podemos ver, se trata de una matriz \(4 \times 4\), por tanto, debemos utilizar el teorema de Laplace.

La \(4^{a}\) columna tiene muchos ceros. Esa es la que vamos a escoger.

Vamos a multiplicar cada elemento por su cofactor y sumar todo. Vamos parte por parte:

¿Ahora ves porqué debe tener muchos ceros?

No tenemos que calcular \(\Delta_{24}\) ni \(\Delta_{34}\), porque están multiplicados por cero.

Entonces, tenemos:

\[\operatorname{det} \mathrm{M}=\Delta_{14}+2 \Delta_{44}\]

Calculando cada uno:

\[\Delta_{14}=(-1)^{1+4}\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=(-1) \times 0=0\]

Este dió cero, entonces no tenemos que calcularlo, porque la matriz \(A_{14}\), tiene dos filas repetidas y, por tanto, es \(LD\).

El otro:

\[\Delta_{44}=(-1)^{4+4}\left|\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\right|=+\left|\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\right|\]

Si aplicamos la Regla de Sarrus a ese determinante, el resultado será \(-9\).

Y tenemos que:

\[\operatorname{det} \mathrm{M}=0+2 \times(-9)=-18\]

Como puede notar, teniamos un determinante \(4 \times 4\) y tuvimos que calcular uno de \(3 \times 3\), gracias al Teorema de Laplace.

En realidad, el teorema de Laplace sirve para calcular cualquier matriz cuadrada.

Sin embargo, para matrices menores que \(4\) es más sencillo utilizar Sarrus, y para matríces de orden mayor que \(4\) tendrás que aplicar el teorema más de una vez, pero es raro que aparezca en exámenes. Por tanto, probablemente solo lo usarás con matrices \(4 \times 4\).

Dicho esto, algunas personas prefieren usar Laplace para calcular determinantes de orden \(3\). Siente libre de usar el método de tu preferencia, pero recuerda que Sarrus solo funciona hasta matrices \(3 \times 3\).

¡Y eso es todo amigos, no olviden seguir prácticando!