Determinantes y Escalonamiento

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

Estarías desesperado si tuvieras que calcular una matriz \(7 \times 7\), ¿verdad? En esta ocasión aprenderemos cómo hacerlo.

Siempre que la matriz sea triangular (tanto superior como inferior), el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. También aplica para una matriz diagonal.

Por ejemplo:

\[\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right|\]

La matriz es triangular, por tanto, su determinante es: \(1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2=4\).

Sería genial si pudiéramos escalonar una matriz para calcular los determinantes, ¿verdad? Porque es fácil calcularlos en matrices que están escalonadas. Recuerda que para matrices cuadradas, una matriz escalonada se convierte en una matriz triangular superior.

¡La buena noticia es que SI es posible!

Solo debes saber que:

     \(\bullet\) Cuando cambias filas o columnas de lugar, el signo del determinante cambia;

     \(\bullet\) Cuando multiplicas una fila por un escalar, el determinante también es multiplicado por dicho escalar;

     \(\bullet\) Si sustituyes una fila/columna por un múltiplo de otra sumado a esa fila/columna, el determinante no cambia.

Esquematizando, sea la matriz \(A\) ( la matriz antes de realizar las operaciones), y la matriz \(A^{\prime}\) (la matriz después de realizar las operaciones):

\[L_{i} \leftrightarrow L_{j}, j \neq i \Rightarrow \operatorname{det}\left(A^{\prime}\right)=-\operatorname{det}(A)\]

\[L_{i} \leftarrow k \cdot L_{i} \Rightarrow \operatorname{det}\left(A^{\prime}\right)=k \cdot \operatorname{det}(A)\]

\[L_{i} \prec L_{i}+k \cdot L_{j}, i \neq j \Rightarrow \operatorname{det}\left(A^{\prime}\right)=\operatorname{det}(A) \quad \text {(operación elemental)}\]

Nota: ¡Cuidado con esta última operación! Si haces \(\mathrm{L}_{\mathrm{i}} \leftarrow-L_{i}+k \cdot \mathrm{L}_{\mathrm{j}}\), el determinante cambia de signo. Es como si multiplicaramos la fila por \(-1\) y luego realizado la operación elemental.

Vamos usar estas propiedades para calcular el siguiente determinante:

\[\operatorname{det}(\mathrm{A})=\left|\begin{array}{llll}2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{array}\right|\]

Para calcular este determinante, vamos a escalonar la matriz, por lo que tendrá la forma de una matriz triangular, la cual es mucho más fácil de calcular el determinante.

\[\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{array}\right| \stackrel{L_{2} \leftarrow L_{2}-\frac{1}{2} L_{1}}{L_{3} \leftarrow L_{3}-L_{2}}{\longrightarrow}\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{array}\right|\]

\[\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{array}\right| \stackrel{L_{3} \leftarrow L_{3}+L_{2}}{\longrightarrow}\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{array}\right|\]

\[\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 4 & 2\end{array}\right| \stackrel{L_{4} \leftarrow L_{4}-4 \cdot \frac{2}{3} L_{3}}{\longrightarrow}\left|\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right|\]

Como puedes notar, el determinante no cambió de signo en ningúno de los casos porque usamos la operación elemental, \(\mathrm{L}_{\mathrm{i}} \leftarrow \mathrm{L}_{\mathrm{i}}+\mathrm{k} \cdot \mathrm{L}_{\mathrm{j}}\). Ahora solo tenemos que multiplicar los elementos de la diagonal:

\[\operatorname{det}(\mathrm{A})=2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot(-2)=-6\]

\[\operatorname{det}(\mathrm{A})=-6\]

Ese es el determinante de la matriz.

Mi recomendación personal es que uses la operación elemental ya que no altera el determinante.  Sin embargo, en algunos casos, con solo usarlo se pueden crear varias fracciones que pueden complicar las cosas.

Queda a tu criterio si utilizas otras operaciones, solo ten cuidado con los cambios en el determinante.