Determinantes en Bloques

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

En esta ocasión veremos un método para el cálculo de determinantes. Es parecido al del determinante de matrices triangulares.

¿Qué significa matrices en bloques?

Vamos a suponer una matriz:

\[\mathrm{M}=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{A} & \mathrm{B} \\ 0 & \mathrm{D}\end{array}\right]\]

\[\text { o }\]

\[\mathrm{M}=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{A} & 0 \\ \mathrm{C} & \mathrm{D}\end{array}\right]\]

\[\text { o }\]

\[\mathrm{M}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{A} & 0 \\ 0 & \mathrm{D}\end{array}\right]\]

Siendo \(\mathrm{A} \text { y } \mathrm{D}\) matrices cuadradas. Es decir, las matrices de la diagonal deben ser cuadradas.

¿Entonces, tenemos una matriz \(M\) con varias matrices cuadradas dentro de ella? Y por eso serán matrices de gran tamaño.

El hecho de que sea \(0\) no significa que se trate de un bloque de ceros o el número \(0\) en sí. En este caso, el \(0\) es un conjunto de ceros, puede ser una fila de dos, tres o cuatro ceros. También puede ser un cuadradito como las matrices \(\mathrm{A} \text { y } \mathrm{D}\) pero no es necesario. Veamos un ejemplo:

Esta es una posible matriz en bloques:

Cabe destacar que no se trata de un cuadrado de ceros, sino de una fila de tres ceros. Pero… ¿por qué funciona?

Tenemos que separar la matriz de una forma que sea igual a las tres veces anteriores. Es decir:

Ese es el caso de:

\[\mathrm{M}=\left[\begin{array}{ll}\mathrm{A} & 0 \\ \mathrm{C} & \mathrm{D}\end{array}\right]\]

“¿A que te refieres?” Dirás

“Tenemos que hallar matrices \(\mathrm{A}, \mathrm{D}\) cuadradas, ¿verdad?” Entonces, solo hacemos:

\[\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 8 \\ 1 & 5 & 9\end{array}\right]\]

\[\mathrm{D}=[2]\]

Pero…, la matriz \(A\) es cuadrada, \(3 \times 3\). “¿Y la matriz \(D\)? Solo tiene un elemento”.

Es cierto, pero no deja de ser una matriz cuadrada, ten en cuenta que es \(1 \times 1\) y, por tanto, satisface las condiciones estipuladas anteriormente.

“¿Y esta matriz?”

\[\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 0 \\ 5 & 6 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 4 & 4 & 3 & 3\end{array}\right]\]

No podemos separarla en dos matrices cuadradas.

Porque el determinante de dichas matrices es fácil de calcular.

Si te fijas en la forma de las matrices verás que se asemejan mucho a las matrices triangulares. Estas son llamadas matrices triangulares por bloques. No por casualidad, sino que el determinante de estas matrices siempre tendrá la siguiente forma:

\[\operatorname{det}(\mathrm{M})=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \cdot \operatorname{det}(\mathrm{D})\]

Entonces, para calcular el determinante de la matriz de la letra \(a)\):

Tenemos que:

\[\operatorname{det}(\mathbf{M})=\operatorname{det}(\mathbf{A}) \cdot \operatorname{det}(\mathbf{B})\]

Siendo:

\[\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 8 \\ 1 & 5 & 9\end{array}\right]\]

\[\operatorname{det}\operatorname{(A)}=0\]

Cabe destacar que la primera fila multiplicada por \(4\), sumada la segunda da como resultado la tercera:

\[\operatorname {C}_{3}= 4 \cdot \operatorname {C}_{1} + \operatorname {C}_{2}\]

Como la matriz \(\operatorname {B}\) es \(1 \times 1\), solo tiene un elemento y el determinante es sí mismo.

Entonces:

\[\operatorname {det} \operatorname {(M)} =0 \cdot 2 = 0\]

Cabe resaltar que, a pesar de ser la forma más común, no tenemos que separarla en \(4\) bloques. Lo importante es transformarla en una matriz triangular de bloques. Veamos un ejemplo:

La matriz en bloques es dada por:

\[\left[\begin{array}{ccc}A & D & E \\ 0 & B & F \\ 0 & 0 & C\end{array}\right]\]

Que es una matriz triangular donde:

\[A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-2 & 7 \\ -1 & 4\end{array}\right], C=[9]\]

Por tanto, su determinante es:

\[\operatorname{det}(A) \times \operatorname{det}(B) \times \operatorname{det}(C)=\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\right| \times\left|\begin{array}{cc}-2 & 7 \\ -1 & 4\end{array}\right| \times 9=\underbrace{(4-3)}_{1} \times \underbrace{(-8+7)}_{-1} \times 9=-9\]