Volumen y Área con Determinante

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

En esta ocasión aprenderemos a calcular áreas y volúmenes con determinantes.

Pues sí, el determinante tiene muchos usos, entre ellos este. Lo que sucede es que el determinante de una matriz cuadrada es una generalización de área y volumen. Veamos algunos ejemplos:

Determinante de una matriz \(2 \times 2\)

El determinante de una matriz \(2 \times 2\) puede ser definido como el área de un paralelogramo. En este caso, sería algo así:

Para hallar el área \(A\) solo tenemos que colocar los vectores \(v\) y \(u\) en las columnas de una matriz \(2 \times 2\) y calcular su determinante. Entonces, tendremos:

\[A=\left|\begin{array}{cc}\uparrow & \uparrow \\ u & v \\ \downarrow & \downarrow\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2}\end{array}\right|=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\]

Ten en cuenta que, dependiendo del orden en que organices los vectores en la matriz puedes hallar un área negativa. Por tanto, para fines prácticos de área y volumen ignoraremos el signo.

Y tendríamos la siguiente situación:

¡Cuidado! No podemos colocar las coordenadas \(\left(x_{2}, y_{2}\right) \text { y } \left(x_{3}, y_{3}\right)\) directamente. Primero debemos desplazar los vectores \(u\) y \(v\) al origen, de esta forma:

\[\bar{u}=\left(x_{2}, y_{2}\right)-\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y 1\right)\]

\[\bar{v}=\left(x_{3}, y_{3}\right)-\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(x_{3}-x_{1}, y_{3}-y 1\right)\]

Entonces, el área del paralelogramo es dada por:

\[A=\left|\begin{array}{ll}\uparrow & \uparrow \\ \bar{u} & \bar{v} \\ \downarrow & \downarrow\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}x_{2}-x_{1} & x_{3}-x_{1} \\ y_{2}-y 1 & y_{3}-y 1\end{array}\right|\]

Por último, veamos cómo sería el área de un triángulo formado por los \(2\) vectores:

Este gráfico resolvió toda duda. Está claro que \(A_{1}=A_{2}\). Solo tenemos que hallar el área del paralelogramo y dividirlo entre \(2\):

\[A_{1}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}\uparrow & \uparrow \\ u & v \\ \downarrow & \downarrow\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2}\end{array}\right|=\frac{\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)}{2}\]

Determinante de una matriz \(3 \times 3\)

¡Vamos con el volumen! Si tenemos \(3\) vectores en el espacio, \(\mathrm{u}, \mathrm{v} \text { y } \mathrm{w}\), generando un paralelepipedo como el que se muestra a continuación:

El volumen del paralelepipedo generado por dichos vectores viene dado por:

\[\mathrm{V}=\left|\begin{array}{ccc}\uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \mathrm{v} & \mathrm{u} & \mathrm{w} \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}\mathrm{x}_{1} & \mathrm{x}_{2} & \mathrm{x}_{3} \\ \mathrm{y}_{1} & \mathrm{y}_{2} & \mathrm{y}_{3} \\ \mathrm{z}_{1} & \mathrm{z}_{2} & \mathrm{z}_{3}\end{array}\right|\]

De la misma forma, podemos tener un paralelepípedo desplazado. En este caso solo tenemos que desplazar los vectores al origen.

Volúmenes y Áreas nulas

Vamos a suponer que estamos en el \(\mathbb{R}^{3}\). Debemos recordar que el determinante de una matriz con filas o columnas \(LD\) es cero. Como estamos en el \(\mathbb{R}^{3}\), que los vectores serán \(LD\) significa que los 3 están en el mismo plano o recta. Algo así:

¿Y cuál es el volumen de un plano o una recta? Es cero. Es por eso que el determinante de las matrices \(LD\) siempre será \(0\). 

Atención: En el \(\mathbb{R}^{2}\), los vectores \(LD\) forman parte de la recta en sí, y el área de una recta es cero. Es difícil imaginar la situación más allá del \(\mathbb{R}^{3}\), pues no contamos con la medida de “volumen” para \(4\) o más dimensiones, pero el razonamiento es el mismo.