Determinantes y Transformaciones Lineales

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

Todas las matrices son \(TL\). Esto significa que existe una relación entre los determinantes y las transformaciones lineales.

¿Y cómo definimos el determinante de una transformación lineal \(T: V \rightarrow V\)?

Sabemos hallar el determinante de una matriz, pero una \(TL\) puede ser definida como varias matrices distintas dependiendo de la base escogida para el espacio \(V\).

La matriz que representa \(T\) en cualquier base de \(V\) siempre tendrá el mismo determinante.

Por tanto, podemos definir el determinante de la transformación \(T\) como:

\[\operatorname{det}(T)=\operatorname{det}(A)\]

Donde \(A\) es la matriz que representa \(T\) en cualquier base.

Determinante y Cambio de Área/Volumen

Imagina a dos vectores formando un paralelogramo en el \(\mathbb{R}^{2}\), o tres vectores formando un paralelepipedo en el \(\mathbb{R}^{3}\). ¿Qué ocurriria si aplicaramos una transformación \(T\) en dichos vectores?

Su área o volumen sería multiplicado por el módulo del determinante de \(T\).

Por ejemplo:

Los vectores \(u\) y \(v\) vienen dados por:

\[v= \bigg (1, \frac{5}{2} \bigg ); u=\bigg( \frac {5}{2}, 1 \bigg)\]

Y la transformación \(T\) es dada por:

\[T(x,y)=(\frac{3x}{2}, \frac{y}{2})\]

Calculando los vectores transformados tenemos:

\[T(v)= \big(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\big)\]

\[T(u)= \big(\frac{15}{4}, \frac{1}{2}\big)\]

Ahora vamos a calcular el área:

\[A^{\prime}=\left|\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & \frac{15}{4} \\ \frac{5}{4} & \frac{1}{2}\end{array}\right|=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}-\left(\frac{15}{4} \cdot \frac{5}{4}\right)=\frac{3}{4}-\frac{75}{16}=-\frac{63}{16}\]

El área es igual al valor del módulo hallado. Vamos a multiplicar el área \(A\) por el módulo del determinante de la transformación:

\[A=\left|\begin{array}{cc}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 1\end{array}\right|=1-\left(\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}\right)=1-\frac{25}{4}=-\frac{21}{4}\]

Una matriz de \(T\) es:

\[\operatorname{det}(T)=\left|\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right|=\frac{3}{4}\]

Finalmente:

\[A^{\prime}= A \cdot |\operatorname {det} (T)|= \frac{21}{4} \cdot \frac {3}{4}= \frac{63}{16}\]

Funciona con cualquier \(TL\), tanto para áreas como para volúmenes.

Nota: cuando hablamos de matrices ortogonales, decimos que su determinante siempre es igual a \(1\) o \(-1\). Ya sabemos el porqué.

La matriz identidad, la matriz rotación y la matriz reflexión son ejemplos de matrices ortogonales. Ninguna de ellas deforma o altera el tamaño del vector, es por ello que su determinante siempre es igual a \(1\).