Introducción a las EDOs

¿Qué es una E.D.O?

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

Vamos a comenzar un nuevo tema: las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Vamos a comenzar un nuevo tema: las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Cabe destacar que el contenido de este tema es una pequeña parte de lo que se suele abordar en los cursos de álgebra lineal.

Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) es una ecuación del tipo:

\[f^{\prime}(x)=f(x)^{2}-e^{x}\]

O

\[y^{\prime \prime}+y y^{\prime}=0\]

En general, una EDO es una ecuación en que la \(n\)-ésima derivada de una función es dada en términos de las derivadas anteriores y de la variable independiente \(x\).. Matemáticamente hablando:

\[y^{(n)}=f\left(y^{(n-1)}, y^{(n-2)}, \ldots, y, x\right)\]

Nota: no confundas \(y^{(n)}\) con \(y^{n} \cdot y^{(n)}\), esta es la \(n\)-ésima derivada de la función \(y\) y \(y^{n}\) es su \(n\)-ésima potencia.

Pero siendo honestos, no podremos resolver el \(99,99\%\) de estas ecuaciones, pues finalmente, están definidas de una forma muy general. Pero si tomamos algunos tipos de funciones \(f\), la cosa resulta más fácil.

Un tipo de EDO muy importante es la lineal. Una EDO lineal (EDOL), es una ecuación como esta:

\[y^{\prime}+2 x y-x^{2}=0\]

O esta:

\[e^{x} y^{\prime \prime}+\frac{y}{x}-\ln x=0\]

En general, una EDOL es una ecuación del tipo:

\[a_{n}(x) y^{(n)}+a_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\ldots+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y+r(x)=0\]

Es decir, una ecuación lineal en \(y\) y sus derivadas.

Teorema de Existencia y Unicidad

Sea una EDO del tipo:

\[a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y+r(x)=0\]

En general, vamos a poder hallar una infinidad de funciones \(y\) que satisfagan la ecuación. Entonces, ¿cómo hallamos la solución de una EDO?

Vamos a decir que cualquier ecuación como:

\[e^{x}+C x^{2}\]

Donde \(C\) es una constante arbitraria, y solamente ella satisface la ecuación. Se trata de la solución general de la EDO. Variando \(C\) podemos conseguir todas las funciones que satisfacen la ecuación.

Si es una EDOL de \(2^{do}\) orden:

\[a_{2}(x) y^{\prime \prime}+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y+r(x)=0\]

La solución general puede ser como:

\[\frac{C_{1}}{x^{3}}+C_{2} x e^{x}\]

Es decir, tendremos dos constantes arbitrarias. En general, si la EDO es de orden \(n\), tendremos \(n\) constantes a determinar.

Este razonamiento deriva del teorema más importante de las EDOs: el Teorema de Existencia y Unicidad. No veremos su definición formal, pero es algo así.

Si tenemos una EDO de orden \(n\) es:

\[\left\{\begin{array}{c}y^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=k_{n-1} \\ y^{(n-2)}\left(x_{0}\right)=k_{n-2} \\ \cdots \\ y\left(x_{0}\right)=k_{0}\end{array}\right.\]

Entonces, existe una sola función que satisface la EDO y las \(n\) ecuaciones anteriores. Entonces, existe una sola función que satisface la EDO y las \(n\) ecuaciones anteriores. Lo cual tiene sentido, pues si tenemos \(n\) constantes a determinar, debemos tener \(n\) ecuaciones.

No te asustes, el teorema es difícil pero no te dará muchos problemas. Es importante estudiarlo ya que este justifica todo lo que ocurre en las EDOs.

Resolución de EDOLs

Ya vimos la suficiente teoría como para resolver algunas EDOLs.

Como te mencioné anteriormente, en esta ocasión solo aprenderemos a resolver un tipo de EDO específica. Se tratan de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Homogéneas de \(1^{er}\) orden con Coeficientes Constantes. Es decir, una EDOL de \(1^{er}\) orden, como:

\[\left\{\begin{array}{c}a_{1}(x)=k_{1} \\ a_{0}(x)=k_{0} \\ r(x)=0\end{array}\right.\]

Básicamente, es algo así:

\[2 y^{\prime}-3 y=0\]

Vamos a resolverla:

\[2 y^{\prime}=3 y\]

\[2 \frac{d y}{d x}=3 y\]

Vamos a pasar \(dx\) multiplicando. Si, lo sé, no es recomendable pero no tiene nada de malo.

\[2 \frac{d y}{y}=3 d x\]

Integramos en ambos lados:

\[\int \frac{2}{y} d y=\int 3 d x\]

\[2 \ln y=3 x+C\]

\[y^{2}=e^{3 x+C}=e^{3 x} e^{C}\]

Como \(C\) es una constante arbitraria podemos hacer esto:

\[e^{C}=C\]

Es confuso, pero lo que hicimos fue cambiar la constante sin alterar el símbolo. Podemos hacerlo ya que la \(C\) original es completamente arbitraria.

\[y^{2}=C e^{3 x}\]

\[y=C e^{\frac{3 x}{2}}\]

¡Y así hallamos la solución general de la ecuación! Para resolver este tipo de EDO siempre seguimos el mismo procedimiento. ¡Eso es todo amigos, no olviden practicar!