Sistema de EDO Lineales
S.E.D.O.Ls
Ya estamos familiarizados con las EDOs, así que vamos a los SEDOLs (\(S\) de sistema). Un SEDOL es sistema tal como:
\[\left\{\begin{array}{c}3 t^{2} z^{\prime \prime}+2 z^{\prime}-(\ln t) y=0 \\ t y^{\prime\prime \prime}+t^{2} y^{\prime}-2 z=4 t\end{array}\right.\]
Es decir, un sistema formado por EDOs lineales en cada una de las funciones de \(y\) y \(z\). Pero en esta ocasión trabajaremos con casos específicos. Entonces, en esta ocasión tendremos algo así como:
\[\left\{\begin{array}{l}2 z^{\prime}-y=0 \\ y^{\prime}-2 z=0\end{array}\right.\]
Es decir, no tendremos términos independientes en la ecuación (funciones de \(t\) separadas de las funciones incógnitas) sino que solamente tendremos coeficientes constantes.
Es decir, SEDOLs homogéneas con coeficientes constantes, también conocidas como SEDOLHs.
Podemos escribir las SEDOLHs en forma matricial. Reagrupando las ecuaciones, tenemos:
\[\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=2 z \\ z^{\prime}=\frac{y}{2}\end{array}\right.\]
Vamos a definir una matriz columna que tiene funciones como entradas. No te asustes, es como si tuviéramos números en las matrices.
\[X(t)=\left(\begin{array}{l}y(t) \\ z(t)\end{array}\right)\]
Formalmente, tenemos una función \(X: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\). La derivada de \(X\) es definida de forma intuitiva:
\[X^{\prime}=\left(\begin{array}{l}y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)\]
Siendo:
\[A=\left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right)\]
Tendremos:
\[X^{\prime}(t)=A X(t)\]
Esta notación deja todo más claro, además es parecida a la de las transformaciones lineales.
Antes de aprender a resolver estas ecuaciones, veamos qué es resolverlas.
Sea una SEDOLH:
\[X^{\prime}(t)=A X(t)\]
Y suponiendo que:
\[X_{1}=\left(\begin{array}{c}t^{3} \\ -t\end{array}\right) \quad X_{2}=\left(\begin{array}{l}t \\ t\end{array}\right) \quad X_{3}=\left(\begin{array}{c}2 t^{3} \\ -2 t\end{array}\right)\]
Son las soluciones de la ecuación. Todas las soluciones del sistema pueden ser expresadas como:
\[X=c_{1} X_{1}+c_{2} X_{2}\]
Donde \(c_{1}\) y \(c_{2}\) son constantes arbitrarias. Sin embargo, habrán soluciones del sistema que no podrán ser escritas en la forma:
\[X=c_{1} X_{1}+c_{3} X_{3}\]
Ya que tenemos:
\[\operatorname{det}\left[\mathrm{X}_{1} X_{2}\right]=\left|\begin{array}{cc}t^{3} & t \\ -t & t\end{array}\right|=t^{4}+t^{2} \neq 0\]
Pero:
\[\operatorname{det}\left[X_{1} X_{3}\right]=\left|\begin{array}{cc}t^{3} & 2 t^{3} \\ -t & -2 t\end{array}\right|=-2 t^{4}+2 t^{4}=0\]
Estos determinantes que calculamos son llamados wronskianos.
Vamos a resumir lo anterior en un teorema.
Sea un SEDOLH:
\[X^{\prime}=A X\]
Con \(\operatorname{dim} X=n\). Si \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) son soluciones de la ecuación, y:
\[W\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)=\operatorname{det}\left[X_{1} X_{2} \ldots X_{n}\right] \neq 0\]
Tenemos que \(\left\{X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right\}\) es la base del conjunto de soluciones de la ecuación. Esta base también es llamada conjunto fundamental de soluciones.
Resolución de SEDOLHs
Para resolver las SEDOLHs, vamos a adivinar la solución. Si hallamos \(n\) soluciones \(l.i\), de acuerdo con el teorema anterior, todo estará correcto.
El truco es adivinar una solución inteligente: \(X=u e^{\lambda t}\), donde \(u\) es una matriz \(n x 1\), \(u \in M_{n x 1}(\mathbb{R})\). En este caso, tendremos:
\[X^{\prime}=\frac{d\left(u e^{\lambda t}\right)}{d t}=\lambda u e^{\lambda t}=\lambda X\]
Pero la ecuación es algo así:
\[X^{\prime}=A X\]
Entonces, tendremos:
\[A X=\lambda X\]
¡Sabemos resolver ese tipo de problema! Simplemente tenemos que hallar los autovalores y autovectores de \(A\).
Pero aún no hemos terminado. En caso de que \(A\) sea diagonalizable y solo tenga autovalores reales, terminamos el problema.
¿Y si tenemos autovalores complejos?
Suponiendo que tenemos un autovalor complejo de \(A \lambda=\alpha+i \beta\) y un autovector asociado \(u=v+i w\), donde \(v\) y \(w\) son vectores reales. Inicialmente tendremos una solución compleja para el problrma, pero recuerda, estamos trabajando con funciones reales, así que no queremos esto:
\[u e^{\lambda t}=u e^{(\alpha+i \beta) t}\]
Vamos a separar las partes reales e imaginarias de esta solución:
\[u e^{(\alpha+i \beta) t}=e^{\alpha t}(v+i w)(\cos \beta t+i \sin \beta t)\]
Calculando, tenemos que:
\[u e^{\lambda t}=(v \cos \beta t-w \sin \beta t) e^{\alpha t}+i(v \sin \beta t+w \cos \beta t) e^{\alpha t}\]
Tenemos una parte real y una imaginaria. Haremos algunos cálculos con vectores complejos:
\[X=u+i v\]
En este caso \(u\) y \(v\) son vectores de funciones.
\[X^{\prime}=u^{\prime}+i v^{\prime}\]
Sea un SEDOL del tipo:
\[X^{\prime}=A X\]
Donde \(A\) es una matriz real:
\[u^{\prime}+i v^{\prime}=A u+i A v \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}u^{\prime}=A u \\ v^{\prime}=A v\end{array}\right.\]
En resúmen, las partes reales e imaginarias son, por separado, soluciones del SEDOLH. En este caso, tendremos que las soluciones que buscamos son estas:
\[X_{1}=(v \cos \beta t-w \sin \beta t) e^{\alpha t}\]
\[X_{2}=(v \sin \beta t+w \cos \beta t) e^{\alpha t}\]
Como puedes notar, obtenemos dos soluciones porque están vinculadas a dos autovalores \(\lambda\) y \(\bar{\lambda}\).
Entonces, si en el examen no te acuerdas de la forma, recuerda el procedimiento que hicimos para llegar a este punto, solo separamos las partes reales e imaginarias de la solución.
¿Y si la matriz no es diagonalizable?
Vamos a suponer que tenemos un autovalor \(\lambda\) de \(A\) con multiplicidad algebráica \(2\) y multiplicidad geométrica \(1\). Recordando el teorema: necesitamos \(n\) soluciones \(l.i\) para hallar la solución general.
“¿Y ahora?” Con \(\lambda\), podemos hallar un autovector \(u\) y una solución \(X_{1}(t)=u e^{\alpha t}\). Te diré la solución, ya que no es tan interesante saber cómo la obtuvimos. Vamos a tener otra solución dada por:
\[X_{2}(t)=u t e^{\lambda t}+v e^{\lambda t}\]
Donde \(v\) es un vector que descubrimos resolviendo el sistema:
\[(A-\lambda I) v=u\]
Sería bueno que aprendieras la fórmula del \(X_{2}\). Además, con ella podemos inducir el caso en que \(\lambda\) tiene multiplicidad algebráica \(3\):
\[X_{3}(t)=u t^{2} e^{\lambda t}+v t e^{\lambda t}+w e^{\lambda t}\]
Donde \(w\) es tomado del sistema:
\[(A-\lambda I) w=v\]
¡Y así se resuelven las SEDOLHs! No olviden pasar por los ejercicios.
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