Forma canónica de Jordan
¡Bienvenidos, espero que estén genial!
En esta ocasión hablaremos sobre la forma canónica de Jordan. Se trata de una forma de representar una matriz u operador lineal a través de otra matriz semejante a la original que es casi una matriz diagonal.
Pero antes de ver cómo funciona la forma de Jordan, hablaremos sobre cómo encontrar el polinomio mínimo de una matriz. Esta será útil al hallar la forma de Jordan.
Polinomio Mínimo
Veamos cómo hallar el polinomio mínimo de una matriz a través de un ejemplo:
Sea \(T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) dado por \(T(x, y, z)=(2 x+y+z, 2 x+y-2 z,-x-2 z)\). Entonces,
\[A=[T]_{c}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right]\]
Donde \(c\) es la base canónica de \(\mathbb{R}^{3}\). Vamos a encontrar el polinomio mínimo de esta matriz.
Antes de encontrar el polinomio mínimo, necesitamos hallar su polinomio característico:
\[p_{a}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)\]
Es decir,
\[p_{a}(\lambda)=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\right)\]
Haciendo la resta de matrices, tenemos
\[p_{a}(\lambda)=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{ccc}\lambda-2 & -1 & -1 \\ -2 & \lambda-1 & 2 \\ 1 & 0 & \lambda+2\end{array}\right]\right)=(\lambda+1)^{2}(\lambda-3)\]
Una vez hallado el polinomio característico, podemos encontrar los posibles polinomios mínimos:
\[(\lambda+1)(\lambda-3) \text{ o }(\lambda+1)^{2}(\lambda-3)\]
Entonces, solo nos queda verificar cuál de las dos posibilidades anteriores será el polinomio mínimo. Para ello, usaremos: \(\boldsymbol{m}_\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A})=0\). Esto siempre será válido para el polinomio mínimo.
Primero vamos a verificar si \((\lambda+1)(\lambda-3)\) es el polinomio mínimo.
\[(A+I)(A-3 I)=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 0 & -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-2 \\ \end{array}\right)\]
No importan los valores de las otras entradas, esta matriz no es nula. Esto significa que \((\lambda+1)(\lambda-3)\) no es el polinomio mínimo.
Por tanto, el polinomio mínimo de \(A\) es
\[m_{A}(A)=(\lambda+1)^{2}(\lambda-3)=p_{a}(\lambda)\]
A continuación veremos cómo funciona la forma de Jordan.
Forma de Jordan para matrices \(3 \times 3\)
Vamos a usar el operador
\[T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\]
Donde conocemos
\[\mathrm{e}_{1} \mapsto T \mathrm{e}_{1}\]
\[\mathrm{e}_{2} \mapsto T \mathrm{e}_{2}\]
\[\mathrm{e}_{2} \mapsto T \mathrm{e}_{3}\]
Y la matriz asociada será una \(3 \times 3\) a la que llamaremos \(A\).
Vamos a dar por hecho el proceso de diagonalización del operador y trabajaremos desde este punto:
\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=0\]
Que tiene una raíz cúbica llamada \(\lambda\).
En un caso ideal, si \(A\) fuera diagonalizable tendríamos que la matriz \(A\) sería semejante a una matriz diagonal:
\[A \sim\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)\]
Pero desafortunadamente esto no siempre sucede. Y es aquí donde entra en juego la forma de Jordan. Vamos a trabajar con \(2\) casos posibles:
Caso \(1\): \(A \sim\left(\begin{array}{lll}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)\)
Caso \(2\): \(A \sim\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)\)
La forma de demostrar cómo llegar a estas dos matrices es algo complicado, pero confía en que estos son los casos más sencillos, la matriz \(A\) será semejante a una de estas dos matrices.
Entonces, veamos que sucede a nivel del operador para intentar entender un poco esto.
Sabemos que existe una base \(\beta=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}\) donde \(v_{1}, v_{2}, v_{3}\) son:
\[v_{1} \mapsto(1,0,0)\]
\[v_{2} \mapsto(0,1,0)\]
\[v_{3} \mapsto(0,0,1)\]
A continuación analizaremos ambos casos:
Caso 1: \(A \sim\left(\begin{array}{lll}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)\)
Estamos usando el operador
\[T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\]
Entonces tendremos
\[T v_{1}=\lambda v_{1}\]
\[T v_{2}=\lambda v_{2}\]
\[T v_{3}=v_{2}+\lambda v_{3}\]
Caso 2: \(A \sim\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)\)
Como estamos usando el operador
\[T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\]
Entonces tendremos:
\[T v_{1}=\lambda v_{1}\]
\[T v_{2}=v_{1}+\lambda v_{2}\]
\[T v_{3}=v_{2}+\lambda v_{3}\]
Ahora la pregunta es: ¿cuándo utilizamos uno de los dos casos?
El asunto es: cuando necesitamos los autovalores encontramos \(\lambda\) con un raíz de multiplicidad \(3\). Al hallar los autovalores tendremos \(3\) posibles soluciones: o \(3\) vectores \(L.I\), o \(2\) vectores \(L.I\), o \(1\) vector \(L.I\). Entonces:
Si solo hallamos \(1\) vector \(L.I\), tendremos el caso 2.
Si hallamos \(2\) vectores \(L.I\), tendremos el caso 1.
Si los \(3\) vectores son \(L.I\) la matriz \(A\) será igual a la matriz diagonal.
El resto será resolver operaciones.
Forma de Jordan para matrices \(2 \times 2\)
El caso de las matrices \(2 \times 2\) es similar al de las \(3 \times 3\), pero el operador que utilizaremos es:
\[T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\]
Si \(A\) fuera diagonalizable la matriz \(A\) sería semejante a una matriz diagonal:
\[A \sim\left(\begin{array}{ll}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{array}\right)\]
Pero esto casi nunca sucede. Y aquí entra en acción la forma de Jordan.
La cual nos va a garantizar que la matriz \(A\) será semejante a la siguiente:
\[A \sim\left(\begin{array}{ll}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{array}\right)\]
El resto será muy parecido, e incluso más fácil.
¡Eso es todo amigos, no olviden resolver algunos ejercicios!
Hay un error?
Todos los Resúmenes
