Introducción a la EDO
Conceptos Importantes
¿Qué tal chicos? ¿Todo bien? Vamos a comenzar a discutir los principales conceptos sobre ecuaciones diferenciales.
\(\bullet\) Ecuación Diferencial
Primero, recordemos lo que es una ecuación diferencial. La ecuación diferencial no es más que una ecuación que tiene que ver con las derivadas. ¿Comprendes? Por ejemplo:
\[\frac{d y}{d x}=x\]
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0\]
Llamamos \(y\) a la variable dependiente y \(x\) a la variable independiente.
\(\bullet\) Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO):
Una EDO es una ecuación diferencial que involucra una función que depende de una sola variable.
Es decir, debemos notar si tenemos derivadas en relación a una sola variable. Veamos algunos ejemplos:
\[\frac{d y}{d x}=x\]
Es una ecuación diferencial ordinaria porque solo está relacionada a la derivada con respecto a \(x\)
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0\]
También es una ecuación diferencial ordinaria porque solo tiene derivadas con respecto a \(x\).
\[3 \frac{d u}{d x}+2 \frac{d v}{d x}=x\]
A pesar de haber dos variables dependientes diferentes, ambas son derivadas en relación a \(x\). Por tanto, es una ecuación diferencial ordinaria.
\[\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}=0\]
¡Oh! Esta es diferente, puesto que involucra tanto las derivadas con respecto a \(x\) como las derivadas con respecto a \(z\). Por tanto, no es una ecuación diferencial ordinaria.
Nota: este tipo de ecuación diferencial es llamada ecuación diferencial parcial.
Orden y Linealidad de una ecuación diferencial
\(\bullet\) Orden de una ecuación diferencial:
El orden de una ecuación diferencial viene dado por la derivada de orden superior. ¿No entendiste? Te explicaré mejor con los siguientes ejemplos:
\[\frac{d y}{d x}=x\]
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de \(1^{\mathrm{er}}\) orden, porque la derivada de orden superior es de \(1^{\mathrm{er}}\) orden.
\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0\]
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de \(2^{\mathrm{do}}\) orden, ya que la derivada de orden superior \(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)\) es de \(2^{do}\) orden.
\[\frac{d^{7} y}{d x^{7}}-\frac{d^{5} y}{d x^{5}}=5\]
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de \(7^{\mathrm{mo}}\) orden, porque que la derivada de orden superior \(\left(\frac{d^{7} y}{d x^{7}}\right)\) es de \(7^{mo}\) orden.
Quedó claro, ¿verdad?
\(\bullet\) Ecuación diferencial lineal:
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales:
\[x^{5} \frac{d^{5} y}{d x^{5}}+x^{3} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+y=0\]
\[x \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{3} y=x\]
\[x^{2} \frac{d^{6} y}{d x^{6}}+x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=30\]
Estas ecuaciones tienen dos cosas en común:
\(a.\) Tanto las derivadas de \(y\) como la misma \(y\) no están elevadas al cuadrado, al cubo o a cualquier otro exponente que no sea 1. Es decir, no tenemos \(\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{4}\) o \(y^{2}\).
\(b.\) Los coeficientes que multiplican tanto las derivadas de \(y\) como \(y\) misma solo dependen de \(x\). Por tanto, no tenemos ecuaciones como:
\[y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}=0\]
De forma general:
\(a.\) Decimos que una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente (en este caso \(y\)) y sus derivadas están elevadas al exponente \(1\).
\(b.\) Los coeficientes que multiplican la variable dependiente (en este caso \(y\)) y sus derivadas sólo dependen de la variable independiente (en este caso \(x\)).
Nota: Si no cumple con estos requisitos, es llamada ecuación diferencial no lineal.
EDO Homogénea de \(1^{\mathrm{er}}\) Orden y EDO No Homogénea
La forma general de las EDO de \(1^{\mathrm{er}}\) orden:
\[q(x) \frac{d y}{d x}+r(x) y=g(x)\]
O también:
\[q(x) y^{\prime}+r(x) y=g(x)\]
Donde \(q\), \(r\) y \(g\) son funciones de \(x\). Además \(q(x) \neq 0\).
Los ejemplos de EDO de \(1^{\mathrm{er}}\) orden son:
\[-6 x \frac{d y}{d x}+4 y=0\]
\[-2 x^{3} \frac{d y}{d x}+y=10 x\]
\(\bullet\) Homogénea:
Las EDO de primer orden son homogéneas cuando \(g(x)=0\). Por ejemplo:
\[-6 x \frac{d y}{d x}+4 y=0\]
\(\bullet\) No Homogénea:
Las EDO de primer orden no son homogéneas cuando \(g(x) \neq 0\). Por exemplo:
\[2 x^{3} \frac{d y}{d x}+y=10 x\]
¿Entendido? 😉
Solución de una ecuación diferencial
Considera la siguiente ecuación diferencial:
\[y^{\prime}-y=e^{x}\]
Tenemos que comprobar si \(y=x e^{x}\) es la solución a esa EDO ¿Cómo podemos hacerlo?
Primero, vamos a calcular las derivadas de \(y\).
\[y=x e^{x}\]
\[y^{\prime}=e^{x}+x e^{x}\]
Si \(y\) realmente es la solución de esa EDO, entonces al sustituir \(y\) y \(y^{\prime}\) se cumplirá la ecuación.
Por tanto, tenemos:
\[y^{\prime}-y=e^{x} \rightarrow\left(e^{x}+x e^{x}\right)-x e^{x}=e^{x}\]
\[e^{x}+x e^{x}-x e^{x}=e^{x}\]
\[e^{x}=e^{x}\]
¡Lo cual es cierto!
Entonces, \(y=x e^{x}\) es la solución de la EDO.
En forma general, si \(y=f(x)\) es la solución de una EDO, cuando sustituimos \(\boldsymbol{y}\) y sus derivadas, la ecuación diferencial debe ser satisfecha.
Problema de Valor Inicial (\(\text{PVI}\))
Considere el siguiente problema:
\[y^{\prime}-6 y=0\]
Además, el problema nos dice que \(y(0)=3\) e indica que la solución general de esta EDO es \(y=C e^{6 x}\), y te pide el valor de la constante \(C\).
¿Cómo lo hacemos? ¡Sencillo, usando la condición dada!
\[y(0)=3\]
Como sabemos cual es la función, simplemente sustituimos \(x=0\) en \(y\)
\[y(x)=C e^{6 x} \rightarrow y(0)=C e^{0}=C\]
Como \(y(0)=3\), tenemos
\[C=3\]
Y la solución sería
\[y(x)=3 e^{6 x}\]
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