Suma, Diferencia de Vectores y Ley de los Cosenos

Ahora que ya sabemos que son vectores necesitamos saber cómo vamos a trabajar con ellos.

Para sumar vectores existen dos métodos: método geométrico y el método del paralelogramo

Método geométrico

Este método es bueno cuando queremos sumar vectores independientes del número. La idea es poner el inicio de un vector al final del otro, como si uno continuara el camino del otro.

El vector resultante de esa suma va a ser el vector que comienza en la origen del primer vector hasta el final del último vector. !Mira el ejemplo que conseguí para ti!

?Y si quiero saber cuanto vale ese vector resultante?

Viste que aquí arriba hicimos un triángulo? Sabiendo el ángulo entre los vectores podemos calcular el tamaño del vector resultante a través de la ley de los cosenos.

\[|\vec{C}|^{2}=|\vec{A}|^{2}+|\vec{B}|^{2}-2|\vec{A}||\vec{B}| \cos (\theta)\]

Donde \(\theta\) es el ángulo entre los vectores.

Método del paralelogramo

Podemos usar este método cuando queremos la suma de dos vectores. Diferente del otro método, ponemos los dos vectores saliendo del mismo lugar. El vector resultante será la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores.

Bueno, para este caso, vamos a usar una fórmula un poco diferente de la anterior. El ángulo entre los vectores ahora no es el ángulo que forma el triángulo, pero si el ángulo externo del triángulo. Así tendríamos lo siguiente:

\[\cos (\theta)=\cos \left(180^{\circ}-\theta_{\text {externo}}\right)=\operatorname{Cos} 180^{\circ} \text { Cos } \theta_{\text {externo}}+\operatorname{Sen} 180^{\circ} \text { Sen } \theta_{\text {externo}}\]

\[\cos (\theta)=-\operatorname{Cos} \theta_{\text {externo}}\]

Sustituyendo en la ecuación original tenemos:

\[|\vec{C}|^{2}=|\vec{A}|^{2}+|\vec{B}|^{2}+2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \left(\theta_{e x t e r n o}\right)\]

Propiedades de los vectores

Además de estos métodos, es importante saber algunas propiedades de los vectores:

• Vectores son conmutativos, o sea, no importa si vas a sumar el primero y después el segundo o el contrário. El resultado es siempre el mismo.

• ?Y para restar? Restar un vector es la misma cosa que sumar con el sentido opuesto.

• La suma vectorial es asociativa, no importa cual par sea sumado primero, el resultado es siempre el mismo.

• Si dos vectores cuando sumados resultan en 0, significa que un vector es el negativo del otro