Componentes de Vectores y Vectores unitarios

Componentes de un vector

En física, vemos situaciones en las que usaremos una, dos o tres dimensiones.

Los componentes de un vector son los valores de magnitud en estas direcciones que usaremos .

Cuando hacemos ejercicios con una dimensión, no usamos un vector porque el signo de esta magnitud es suficiente para determinar la dirección y el sentido .

Normalmente, tenemos:

Cuando tenemos un movimiento en la horizontal , si el valor de la magnitud es positivo está a la derecha y si es negativo estará a la izquierda .

Cuando tenemos un movimiento en la vertical, si el valor de la magnitud es positivo es para arriba y si es negativo será para abajo .

En otras situaciones, como las de dos dimensiones , usaremos, como referencia, un plano cartesiano.

Este plano no es más que una combinación de movimiento vertical con movimiento horizontal. Generalmente usamos:

eje x⟹movimiento horizontal

 eje y⟹movimiento vertical

Cuando el valor de la componente HORIZONTAL es positivo, significa que está "apuntando" hacia la derecha y el valor negativo significa que está " apuntando " hacia la izquierda.

Mientras tanto, cuando el valor de la componente vertical es positivo significa que está "apuntando" hacia arriba y cuando el valor es negativo significa que está "apuntando" hacia abajo.

Ah, todas estas son convenciones utilizadas. Si en un problema alguien te dice que hacia abajo es positivo, créele, ¿ok? Si no dice nada, usa la convención. : D ~

Está bien, vamos a lo que interesa. Échale un vistazo a este gráfico:

En esta imagen hemos dibujado un vector \(\vec{v}\) ¿verdad?

Note que el vector se mueve \(3\) en \(x\) (HORIZONTAL), y \(2\) en \(y\) (VERTICAL), en relación al origen.

Así que su componente horizontal vale \(3\), y su componente vertical vale \(2\).

¿Pero cómo escribir este vector?

La forma más común de escribirlo es usar vectores unitarios \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\).

Estos vectores no son más que la representación del desplazamiento en cada dirección.

El \(\hat{i}\) es el desplazamiento sobre el eje \(x\), que es el desplazamiento horizontal.

El \(\hat{j}\) es el desplazamiento sobre el eje \(y\), que es el desplazamiento vertical .

Este vector se verá así:

\[\vec{v}=3 \hat{i}+2 \hat{j}\]

Donde el valor de la componente \(x\) es escrito multiplicado por \(\hat{i}\) y el valor de \(y\) es escrito multiplicado por \(\hat{j}\).

Nota: A menudo también puedes encontrar los vectores escritos en este formato;

 \[\vec{v}=(3,2)\]

Donde el primer dígito antes de la coma es el valor de la componente \(x\) y el número después de la coma es el valor de la componente \(y\). Así que mucha atención!

Vector en 3 dimensiones

Hasta ahora hemos visto situaciones con vectores en dos dimensiones, pero también hay casos con tres dimensiones. ¿Pero cómo escribir un vector en tres dimensiones?

Difícilmente tendrás el valor del vector y del ángulo, por lo general los componentes se dan en el problema.

Ahora se debe prestar atención a los ejes. Echemos un vistazo al "plano" cartesiano en \(3 D\).

¿Y ahora? ¿Qué es vertical u horizontal? Cálmate, relájate, entendamos esto juntos?

La manera fácil de ver cuánto vale cada componente es dibujar el eje cartesiano.

Veamos un ejemplo.

Llamemos este vector de \(\vec{v}\).

¿Cuál será la componente en \(x\)?

\[v_{x}=2\]

¿Cuál será la componente en \(y\)?

\[v_{y}=3\]

¿Cuál será la componente en \(z\)?

\[v_{z}=6\]

¿Cómo voy a escribir esto vectorialmente? Ese es el gran problema, el \(x\) y el \(y\) no cambian nada, continúan multiplicados por \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\). Pero ¿qué pasa con el eje \(z\)? También hay un tipo con un “sombrero“ para él: el \(\hat{k}\). Así que el vector se verá así:

\[\vec{v}=v_{x} \hat{i}+v_{y} \hat{j}+v_{z} \hat{k}\]

¿Entendiste? ¿Cómo es entonces?

\[\vec{v}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}\]

Y ahora tenemos nuestro vector en tres dimensiones.

Nota 2: ¡Los vectores tridimensionales también se pueden escribir en otro formato! Queda así;

\[\vec{v}=(2,3,6)\]

Módulo de un vector

El valor numérico de algunas magnitudes es muy importante para los estudios de física. En el caso de los vectores, este valor numérico se denomina Módulo vectorial y se escribe para un vector \(\vec{v}\) cualquiera como \(|\vec{v}|\), a veces puedes encontrarlo escrito como \(||\vec{v}||\).

¿Cuál es la diferencia? Ninguna, va al gusto del cliente ^ _ ^

¿Pero cómo calculamos el módulo? Tenemos una fórmula para eso.

\[|\vec{v}|^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\]

Con \(v_{x}\) siendo la componente \(x\) del vector, y \(v_{y}\) siendo la componente \(y\) del vector.

Esta fórmula nos recuerda a la fórmula de Pitágoras ¿verdad?

Todavía en relación con el vector \(\vec{v}\) del gráfico, ya vimos que,

\[v_{x}=3\]

\[v_{y}=2\]

\[|\vec{v}|^{2}=3^{2}+2^{2}=9+4\]

\[|\vec{v}|=\sqrt{13}\]

Así que el módulo vale \(\sqrt{13}\).

Para el vector tridimensional la fórmula es similar

\[|\vec{v}|^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\]

Descomponiendo un vector

En muchos casos, no conocemos las componentes del vector, sino su módulo y el ángulo que este vector hace con cualquiera de los ejes.

¿Cómo encontramos las componentes entonces?

Consideremos

\[|\vec{v}|=10\]

\[\theta=60^{\circ}\]

Para encontrar cada componente, simplemente tenemos que multiplicar el módulo por el seno o el coseno del ángulo.

Ahora todo se complicó ¿verdad? ¿Cuándo usar el seno? ¿Cuándo usar el coseno?

Aquí hay un truco para recordar siempre cuándo usar el seno y cuándo usar el coseno.

¿Puedes ver de que la componente \(x\) está "COlada" con el ángulo? Así que vamos a usar el COseno

\[v_{x}=\underbrace{10}_{|\vec{v}|} \cdot \underbrace{\frac{1}{2}}_{\cos 60^{\circ}}=5\]

Observe ahora que la componente \(y\) está "SEparada", así que vamos a usar el SEno

\[v_{y}=\underbrace{10}_{|\vec{v}|} \cdot \underbrace{\frac{\sqrt{3}}{2}}_{\operatorname{sen} 60^{\circ}}=5 \sqrt{3}\]

Bien, ahora tenemos las componentes del vector!

Viste que partiendo del ángulo podemos llegar a las componentes, ¿verdad? Así que partiendo de las componentes podemos obtener el ángulo de la misma manera !!!

Vimos que la componente y está relacionado con el \(\operatorname{sen}(\theta)\)

Vimos que la componente x está relacionado con el \(\cos (\theta)\)

¿Qué te recuerda eso? ¿Nada?  =(

¡Entonces te recuerdo!

\[\frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos (\theta)}=\operatorname{tg}(\theta)\]

Así podemos relacionar el ángulo con las componentes:

\[t g(\theta)=\frac{v_{y}}{v_{x}}\]

Observa que el ángulo siempre se hace con el eje \(+O x\) (el eje horizontal). En los ejercicios se darán varios ángulos, no siempre será el que se forme con el eje \(+O x\). Hay varias formas de hacer los ángulos, pero siempre trataremos de encontrar el ángulo con el eje \(+O x\) para poder usar estas ecuaciones !!!

Esto es muuuuuy importante , ¡no lo olvides!

Multiplicación por un escalar

Falta un último detalle, la multiplicación por un escalar. Hermoso nombre ¿verdad?

¿Pero qué demonios es la multiplicación por un escalar?

Es cuando se multiplica un número por un vector, aún utilizando el vector \(\vec{v}\) de allá arriba. Vamos a multiplicarlo por \(5\).

\[5 \vec{v}=5(3 \hat{i}+4 \hat{j})\]

Para hacer esta cuenta solo haz la distributiva, se verá así

\[5 \vec{v}=5(3 \hat{i}+4 \hat{j})=5 \bullet 3 \hat{i}+5 \bullet 4 \hat{j}\]

\[5 \vec{v}=15 \hat{i}+20 \hat{j}\]

Suma y resta de vectores por componentes

Vamos a ver más adelante cómo calcular la velocidad media, la aceleración media, las fuerzas, etc.

En todos estos casos necesitamos saber cómo sumar o restar vectores.

¿Pero cómo se hace? Relájate, es fácil. Vamos a obtener dos vectores

\[\vec{v}=3 \hat{i}+4 \hat{j}\]

\[\vec{u}=-2 \hat{i}+2 \hat{j}\]

Si vamos a calcular la suma de estos vectores, solo tenemos que sumar sus componentes :

\[\vec{v}+\vec{u}=(3+(-2)) \hat{i}+(4+2) \hat{j}\]

\[\vec{v}+\vec{u}=\hat{i}+6 \hat{j}\]

Si fuera una resta, solo reste sus componentes .

\[\vec{v}-\vec{u}=(3-(-2)) \hat{i}+(4-2) \hat{j}\]

\[\vec{v}-\vec{u}=\widehat{5 i}+2 \hat{j}\]

¿Todo bien? Vamos a los ejercicios para entenderlo mejor !!!