Fuerza Magnética
Introducción
Vamos a empezar a hablar de la fuerza magnética. Esta se parece a la fuerza eléctrica que ya estudiamos. Pero la gran diferencia es que solo afecta las cargas en movimiento.
Vamos a ver que:
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\(\bullet\) Las cargas en movimiento producen campo magnético. Las cargas en reposo no;
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\(\bullet\) Las cargas en movimiento pueden sufrir la acción de fuerzas magnéticas. Las cargas en reposo no.
Fuerza Magnética
Estamos en presencia de la fuerza magnética cuando un cuerpo cargado en movimiento entra en contacto con un campo magnético.
La fórmula de fuerza magnética sobre una carga puntiforme es la siguiente:
\(\vec{F}_{B}=q \vec{v} \times \vec{B}\)
\(q\): Carga eléctrica \([C]\);
\(\vec{v}\): vector velocidad de carga \([m / s]\);
\(\vec{B}\): Vector campo magnético. La unidad del campo magnético es el Tesla \([T]\).
Como estamos trabajando con ese producto final, también podemos calcular el módulo de la fuerza magnética \(F_{B}\) de la siguiente forma:
\(F_{B}=q \cdot v \cdot B \cdot \operatorname{sen} \theta\)
Donde \(\theta\) es el ángulo formado entre \(\vec{v}\) y \(\vec{B}\).
Otro punto importante de estar trabajando con dicho producto vectorial es que la dirección y el sentido de \(\vec{F}_{B}\) pueden ser determinados a través de la regla de la mano derecha.
Como pudiste notar, el producto vectorial de la regla de la mano derecha será parte de nuestra vida a partir de este momento…
Así que para estar amolados, vamos a echarle un vistazo, ¿de acuerdo?
Producto Vectorial
El producto vectorial es una operación entre dos vectores que tiene como resultado un nuevo vector, a diferencia del producto escalar que tiene como resultado un número (escalar).
Representamos el producto vectorial por el signo: \(\times\)
Dado el siguiente producto vectorial:
\(\vec{v}=\vec{a} \times \vec{b}\)
El módulo del producto vectorial viene dado por:
\(|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}||\operatorname{sen}(\theta)|\)
Donde \(\theta\) es el ángulo entre ellos. Debido a esta fórmula, sabemos que el producto vectorial entre dos vectores paralelos (\(\theta=0^{\circ}\) o \(\theta=180^{\circ}\) es un vector nulo. ¡Nunca lo olvides!
Dado dos vectores en \(\mathbb{R}^{3}\), por ejemplo, el vector velocidad \(\vec{v}\) de una partícula cargada con carga \(q\) y el vector campo magnético \(\vec{B}\):
\(\vec{v}=\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)\)
\(\vec{B}=\left(B_{x}, B_{y}, B_{z}\right)\)
Calculamos la fuerza magnética a través del determinante de abajo:
\(\overrightarrow{F_{B}}=q \cdot \vec{v} \times \vec{B}=q \cdot\left|\begin{array}{ccc}{\hat{i}} & {\hat{j}} & {\hat{k}} \\ {v_{x}} & {v_{y}} & {v_{z}} \\ {B_{x}} & {B_{y}} & {B_{z}}\end{array}\right|\)
Donde \(\hat{i}, \hat{j}\) y \(\hat{k}\) son los tres vectores unitarios \((1,0,0),(0,1,0)\) y \((0,0,1)\). Mi método favorito de calcular los determinantes es por la regla del cofactor. En este caso, quedaría:
\(\overrightarrow{F_{B}}=q \cdot\left(\left|\begin{array}{ll}{v_{y}} & {v_{z}} \\ {B_{y}} & {B_{z}}\end{array}\right| \hat{i}+\left|\begin{array}{ll}{v_{x}} & {v_{z}} \\ {B_{x}} & {B_{z}}\end{array}\right|(-\hat{j})+\left|\begin{array}{cc}{v_{x}} & {v_{y}} \\ {B_{x}} & {B_{y}}\end{array}\right| \hat{k}\right)\)
Es decir, en lugar de calcular un determinante \(3 \times 3\), el problema se reduce a calcular las determinantes menores \(2 \times 2\). Cada uno de esos determinantes menores se obtiene eliminando la línea y la columna del vector correspondiente. No olvides que \(\hat{j}\) tiene el signo cambiado.
Además, ten en cuenta de que si cambias el orden del vector \(\vec{a}\) con el vector \(\vec{b}\) el signo cambiará, por tanto:
\(\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}\)
Es básicamente eso.¡Pero no te vayas todavía! Tengo un pequeño truco para ti… Toda esa porquería de ahí arriba sirve solo si quieres calcular el valor del producto vectorial. Pero puede ser que cierta pregunta no nos exija todo eso sino su dirección o sentido…
A continuación, vamos a ver la regla de la mano derecha, que nos permite saber justamente eso!
Regla de la Mano Derecha
La regla es la siguiente:
Un hecho interesante de la regla de la mano derecha es que el vector fuerza magnética es siempre perpendicular al vector velocidad. De forma tal que la fuerza magnética no realiza trabajo sobre el cuerpo y su velocidad se mantiene constante en módulo.
Por medio de la regla de la mano derecha, podemos llegar a tres resultados interesantes con nuestros vectores unitarios del sistema cartesiano \((\hat{i}, \hat{j} \text { y } \hat{k})\).
\(\hat{i}=\hat{j} \times \hat{k}\)
\(\hat{j}=\hat{k} \times \hat{i}\)
\(\hat{k}=\hat{i} \times \hat{j}\)
Sería provechoso si memorizamos esas tres ecuaciones ya que de vez en cuando el enunciado solo nos proveé dos de los ejes coordenados; pero a partir de esos dos podemos descubrir hacia donde está apuntando el tercero. En mi caso, me gusta memorizarlas de una manera… digamos… geométrica. Memorizo la primera ( En este orden: i, j, k) y las otras digo que están “girando” como si las letras estuvieran en una especie de prisma triangular:
Si entendiste la idea, trata de encontrar una manera de memorizar estas tres fórmulas, pues hablamos de quizá no poder responder una pregunta si no las recuerdas.
Trayectoria Circular
Como pudimos apreciar en la regla de la mano derecha que acabamos de aprender, la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad y al campo.
Siendo la fuerza perpendicular la velocidad, esta puede actuar como una centrípeta, solo cambiando la dirección del vector velocidad. Yendo más allá, si la velocidad es perpendicular al campo, tendremos un movimiento circular, como en el siguiente caso:
Donde \(Q>0\).
Dicho esto, podemos hacer algunas operaciones y obtener algunos resultados interesantes. Si te preguntara el radio de la trayectoria, ¿como lo harías? Si sabemos que la fuerza magnética en este caso es la centrípeta, podemos usar la fórmula de Física I:
\(F_{c}=\frac{m v^{2}}{R}\)
Y también sabemos que el módulo de la fuerza magnética es:
\(F_{B}=q v B \operatorname{sen}\left(90^{\circ}\right)\)
\(F_{B}=q v B\)
Igualando las dos fuerzas:
\(q v B=\frac{m v^{2}}{R}\)
Es decir, aislando el radio:
\(R=\frac{m v}{q B}\)
Un conocido mío memorizó esta fórmula de la siguiente manera: “Rabib, me vigila el quibe”.
Si la carga fuera negativa pero conserva su mismo módulo, el radio sería el mismo, sin embargo la trayectoria tendría sentido antihorario. La partícula desviaría su camino hacia arriba en vez de hacia abajo.
¿Y si la velocidad no es perpendicular al campo magnético?
Si descomponemos la velocidad en un componente paralelo y otro perpendicular al campo magnético, solamente la componente perpendicular sufrirá deflexión. La componente paralela seguirá como si nada nada hubiera pasado.
En realidad, en estos casos, la partícula pasa a describir una trayectoria helicoidal, que luce más o menos así:
Si miramos desde arriba, la partícula continuará recorriendo un trayectoria circular, pero si posee una componente paralela al campo magnético, eso es lo que sucederá.
¡Eso es todo, chicos! Nos vemos en los ejercicios! \o/
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