Fuerza Magnética en un Cable Conductor

Fuerza en Cuerpos Cargados

Ya sabemos como la fuerza magnética actúa sobre cargas puntuales. ¿Pero qué pasa cuando hablamos de distribuciones continuas de carga?

Primero veamos lo que está pasando: tenemos una distribución continua de cargas, todas ellas con una cierta velocidad. Eso significa que estamos hablando de una corriente \((I)\), ¿cierto?

En ese caso, la fuerza resultante del campo externo en esa distribución de cargas será dada por:

\(\overrightarrow{F_{B}}=\int_{\text {cuerpo }} I d \vec{l} \times \vec{B}\)

Ahora tu duda es, por supuesto, saber que significa ese vector \(d \vec{l}\) en la ecuación. Ese vector es tangente a la trayectoria de las cargas puntuales, es decir, siempre apunta en el sentido de la corriente en un punto determinado. 

Si tuviéramos un circuito, por ejemplo:

La trayectoria que conoces: solo debes seguir el circuito en el mismo sentido que la corriente, que es antihorario. ¿Cómo quedaría \(d \vec{l}\) en ese caso?

¿Okey, todo correcto hasta aquí? Lo único aburrido es que este nuevo vector \(\overrightarrow{d l} \times \vec{B}\) es (generalmente) una variable. El mismo drama que \(\hat{r}\) en las integrales de campo eléctrico. Tenemos que tratar de definir el sentido del producto vectorial, sustituirlo, e intentar trabajar en su totalidad. Vamos a ver dos ejemplos que resumen todo lo que necesitas saber sobre la orientación de este vector loco. 

Ejemplo 1: Cable rectilíneo

Comenzando con un caso sencillo, vamos a imaginar solo un pedazo de circuito de longitud \(L\) pasando por una corriente \(I\). El campo magnético en aquella región es uniforme. Entonces tenemos:

La pregunta es: ¿cual es la fuerza que el campo ejerce en ese pedazo del circuito de longitud \(L\)?. Bien, vamos a aplicar la fórmula ya adoptada:

\(\overrightarrow{F_{B}}=\int_{\text {cable}} I \overrightarrow{d l} \times \vec{B}\)

Como la corriente es una constante, vamos a sacarla de la integral:

\(\overrightarrow{F_{B}}=I \int_{\mathrm{cable}} \overrightarrow{d l} \times \vec{B}\)

Además, podemos utilizar la regla de la mano derecha para determinar el sentido del producto vectorial. En este caso, será hacia arriba:

Como no mencioné en el enunciado ningún eje coordinado, vamos a decir que esa dirección hacia arriba es la de \(\hat{j}\). Ahora que sabemos el sentido de la fuerza podemos ir integrando en todo el segmento del cable. Como el campo es uniforme, su módulo es constante y \(B\) puede salir de la integral

\(\overrightarrow{F_{B}}=I \int_{0}^{L} B d l \hat{j}\)

\(\overrightarrow{F_{B}}=I B \hat{j} \int_{0}^{L} d l\)

La integral de pedazos infinitesimales de cable en un segmento de longitud \(L\) no es mas que \(L\): 

\(\overrightarrow{F_{B}}=I B L \hat{j}\)

A fin de cuentas, siempre que estemos trabajando con cables rectilíneos, la fuerza magnética sobre ese cable será dado por:

\(\overrightarrow{F_{B}}=I \vec{L} \times \vec{B}\)

Donde \(\vec{L}\) es el vector que posee un módulo igual al tamaño del cable y la dirección y sentido de la corriente que pasa por él.

Ejemplo 2: Cable semicircular

Ahora vamos a ver un caso con un \(\overrightarrow{d l}\) variable. Si tuviéramos un cable en forma de semicírculo de radio \(R\) con corriente constante e inmerso en una región del campo magnético uniforme:

¿Qué fuerza magnética ejerce el campo en el segmento semicircular del cable? Bien, aplicamos la fórmula:

\(\overrightarrow{F_{B}}=\int_{\text {cable }} I \overrightarrow{d l} \times \vec{B}\)

Ahora tenemos un problema con \(\overrightarrow{d l}\), pero no es muy complicado. Vamos a dibujar varios de ellos y ver que pasa:

Fijate como la dirección del producto vectorial es siempre la misma:

Lo que cambia es el módulo. Si logramos deshacernos de ese vector en la integral el resto es historia. Ya que no mencioné ningún eje, vamos a arbitrar que la dirección \(\hat{z}\) de la malla es hacia dentro. El producto queda así:

\(\overrightarrow{d l} \times \vec{B}=B d l \operatorname{sen}(\theta) \hat{z}\)

Ahora necesitamos trabajar en la integral:

\(\overrightarrow{F_{B}}=I B \hat{z} \int_{\text {cable }} \operatorname{sen}(\theta) d l\)

Conforme lo dicho en el enunciado, el radio de la semicircunferencia es \(R\). Cambiando a coordenadas polares:

\(d l=R d \theta\)

\(\overrightarrow{F_{B}}=I B R \hat{z} \int_{\mathrm{cable}} \operatorname{sen}(\theta) d \theta\)

Vemos también que el ángulo va de \(0^{\circ}\) a \(180^{\circ}\).

\(\overrightarrow{F_{B}}=I B R \hat{z} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(\theta) d \theta\)

\(\overrightarrow{F_{B}}=I B R \hat{z}[-\cos (\theta)]_{0}^{\pi}\)

\(\overrightarrow{F_{B}}=I B R \hat{z}(-\cos (\pi)+\cos (0))\)

\(\overrightarrow{F_{B}}=2 I B R \hat{z}\)

Listo.

Barras Deslizantes

Muchas veces, encontraremos problema en los que el cable no está fijo en el espacio, sino que se mueve a medida que una fuerza magnética actúa sobre él. Nuestro trabajo, en este tipo de problemas, es determinar en qué dirección se mueve el cable.

Este tipo de situaciones son llamadas barras deslizantes, pero en realidad no son las barras las que se mueven, sino el cable. Presta atención al ejemplo!

Vamos a analizar la siguiente situación:

En ella tenemos dos barras horizontales fijas, una fuente de fuerza electromotriz y un cable rectilíneo que une las dos barras y puede moverse sin fricción en ellas.

Todo el sistema está sobre la acción de un campo magnético \(\vec{B}\) que apunta hacia arriba (dirección perpendicular al plano del circuito).

A partir del momento en que la corriente pasa a circular en el sistema, tendremos una fuerza magnética \(\overrightarrow{F_{B}}\) actuando sobre el cable rectilíneo. Esa fuerza magnética hará que el cable se mueva. 

¿Cómo haremos para determinar la dirección del movimiento del cable?

Sabiendo que la fuerza resultante sobre la barra deslizante es la fuerza magnética, podemos decir, a partir de la segunda ley de Newton, que:

\(\overrightarrow{F_{R}}=\overrightarrow{F_{B}}\)

\(m \vec{a}=I \vec{L} \times \vec{B}\)

Entonces, la aceleración de la barra será dada por:

\(\vec{a}=\frac{I}{m} \vec{L} \times \vec{B}\)

Si queremos calcular la velocidad, no tenemos que rompernos mucho la cabeza. Solo debes recordar la fórmula de la aceleración instantánea más allá de la cinemática: 

\(\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}=\frac{I}{m} \vec{L} \times \vec{B}\)

\(\vec{v}=\int\left(\frac{I}{m} \vec{L} \times \vec{B}\right) d t\)

Para resolver esa integral, solo debes mirar cuáles términos son constantes para así simplificar.

Si nos paramos a pensar en el hecho de que no fue tan difícil llegar a esas expresiones, sería mejor que entendieras el razonamiento de este tipo de problemas para que tú mismo puedas hacerlo. Incluso es mejor que aprenderte las fórmulas. ¿Vamonos a practicar?