Momento Dipolar Magnético

A continuación vamos a definir algunos conceptos.

Introducción

Imagina que tenemos un circuito plano cerrado pasando una corriente \(i\), tal como este de aquí abajo:

Entonces, el momento del dipolo magnético \(\vec{\mu}\) referente a ese circuito es dado por:

\(\vec{\mu}=i \vec{A}\)

Momento Dipolar Magnético de una Bobina

No tiene mucho misterio, basta con saber que, en una bobina con \(n\) espiras, el momento dipolar magnético \(\vec{\mu}\) es dado por:

\(\vec{\mu}=n I \vec{A}\)

¡Pero, espera! ¿Cómo calculo ese \(\vec{A}\)?

El \(\vec{A}\) es el vector que tiene módulo igual al área que el circuito delimita, dirección perpendicular al plano del circuito y sentido dado por la regla de la mano derecha. 

Ya se, parece un poco confuso, ¿no? Vamos por partes.

Módulo de \(\bf\vec{{A}}\):

Digamos que el circuito tiene las siguientes dimensiones:

Entonces, el módulo de \(\vec{A}\) es dado por;

\(A=4 \times 6=24 \mathrm{cm}^{2}\)

Dirección y sentido de \(\bf\vec{A}\):

Como ya hemos hablado, el vector \(\vec{A}\) tiene dirección perpendicular al plano del circuito y sentido dado por la regla de la mano derecha. 

Espera, ¿cómo que por la regla de la mano derecha? ¿Cómo sabemos el sentido?

Tranquilo, amigo mío, te voy a enseñar cómo.

Para hallar el sentido del vector área, tienes que saber el sentido de la corriente. Una vez conocido dicho sentido, todo lo que tienes que hacer es girar los dedos en el sentido de la corriente y tu pulgar te dará el sentido del vector área.

Practica un poco:

Para aquellos que todavía no están acostumbrados a esta notación: la figura de la izquierda tiene el vector área apuntando desde el interior de la malla hacia el exterior de la misma.

La de la derecha tiene sentido opuesto (entrando en la malla)

Y básicamente eso es lo que necesitas saber para ir a tu exámen tranquilo. 

Ah, una cosa más! Existe un caso en particular en que el momento dipolar tiene una orientación que tienes que memorizar, que es el caso del imán permanente.

En ese caso,el momento dipolar tiene sentido del Polo Sur al Polo Norte:

Torque Magnético en una Espira

Vamos a echarle un vistazo a una espira de área \(A\) recorrida por una corriente \(I\).

A partir del momento en que la espira empieza a pasar por un campo magnético, la misma experimentará un torque magnético \(\left(\vec{\tau}\right)\) dado por:

\(\vec{\tau}=\vec{\mu} \times \vec{B}\)

Donde \(\vec{\mu}\) es el momento dipolar magnético, dado por:

\(\vec{\tau}=\vec{\mu} \times \vec{B}\)

Esta fórmula nos recuerda mucho a la de torque de un dipolo eléctrico, que era dada por:

\(\vec{\tau}=\vec{p} \times \vec{E}\)

La espira se comporta exactamente como un imán en forma de barra, poseyendo un dipolo magnético. 

Obs.: El torque magnético no depende de la forma de la espira, depende solo de su área.

Además, como estamos trabajando con un producto vectorial, podemos decir que:

\(\tau=\mu \cdot B \cdot \operatorname{sen} \theta\)

¿Genial? Básicamente lo que importa es el ángulo entre el vector área y el campo magnético.

Debido al producto vectorial, el vector torque magnético \((\vec{\tau})\) será perpendicular a los vectores momento dipolar magnético \((\vec{\mu})\) y campo magnético \((\vec{B})\), como se muestra en el siguiente ejemplo:

Aquí, la espira está en el plano de la página, conduciendo una corriente eléctrica \((i)\) en sentido antihorario, y el vector campo magnético externo \((\vec{B})\) está apuntando hacia la derecha. 

Por la regla de la mano derecha, el vector torque magnético \((\vec{\tau})\) estará apuntando hacia arriba. Por tanto, la espira girará alrededor del eje vertical, donde su lado izquierdo intentará salir del plano de la página, mientras que el lado derecho intentará entrar al plano de la página.

Energía Potencial Magnética

En presencia de un campo magnético, un dipolo posee una energía potencial magnética.

La energía potencial de un dipolo magnético es parecida a la energía potencial de un dipolo eléctrico, que era dada por:

\(U=-\vec{p} \bullet \vec{E}\)

Continuando, tenemos que la energía potencial almacenada en una posición de la espira con relación al campo magnético es definida por:

\(U=-\vec{\mu} \bullet \vec{B}\)

Donde \(\vec{\mu}\) es el momento dipolar magnético, dado por:

\(\vec{\mu}=n I \vec{A}\)

Es realmente es muy parecido al caso del dipolo eléctrico, solo que el vector momento es normal al plano de la espira, mientras que en el dipolo eléctrico este estaba alineado al eje.

Ah! Como ahora estamos trabajando con un producto escalar entre \(\vec{\mu}\) y \(\vec{B}\), podemos reescribir la expresión de la energía potencial de esta forma:

\(U=-\mu . B . \cos \theta\)

Por consiguiente, la energía potencial es mínima cuando \(\theta=0^{\circ}\), una vez que:

\(U=-\mu . B . \cos 0^{\circ}\)

\(U=-\mu . B\)

Y posee su valor máximo cuando \(\theta=180^{\circ}\), ya que:

\(U=-\mu . B . \cos \left(180^{\circ}\right)\)

\(U=\mu . B\)

Trabajo Magnético sobre una Espira

Si un agente externo hace que un dipolo magnético gire de una orientación inicial \(\theta_{i}\) a una orientación final \(\theta_{f}\) y si el dipolo permanece estacionario antes y después del cambio de orientación, el trabajo \(W_{a}\) realizado por el campo magnético sobre el dipolo magnético es dado por:

\(W_{a}=U=U_{f}-U_{i}\)

Eso es todo chicos! Vamos que vamos!