Campo Magnético Generado por un Hilo Infinito

Introducción

Hemos observado que cuando un carga en movimiento es inmersa en una región con campo magnético, una fuerza magnética empieza a actuar sobre esa carga. Pero, ¿cuál es la fuente del campo magnético? Cómo se da el módulo, dirección y sentido del campo magnético generado dicha fuente? ¡Hoy estás aquí es para descubrirlo!

Campo Generado por una Carga Puntual en Movimiento

Cuando las cargas puntiformes se comienzan a mover, generan a su alrededor un campo magnético. Vamos a considerar una carga \(q\) con velocidad \(v\) en un punto P arbitrario en el espacio, a una distancia \(r\) de ella, como muestra la figura:

 

El campo magnético generado por esa carga en movimiento en aquel punto P es dado por la siguiente fórmula:

 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} q \frac{\vec{v} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

 

\(\mu_{0}\): Permitividad del vacío \(\left(4 \pi \times 10^{-7} {Tm} / {A}\right)\);

 

\(\vec{v}\): Vector velocidad de carga;

 

\(\hat{r}\): Vector unitario que apunta desde la carga \(q\) hasta el punto donde estamos calculando el campo;

 

\(r^{2}\): cuadrado de la distancia de la carga hasta el punto;

 

Podemos ver que en la fórmula de campo magnético hay un producto vectorial entre el vector \(\vec{v}\) y el vector \(\hat{r}\) (\vec{v} \times \hat{r})\), por lo tanto la dirección y el sentido del campo será dado por la regla de la mano derecha. De esta manera, vemos que el campo magnético en el punto \(P\) está entrando en la página, como podemos ver en la imagen :

 

 

Como puedes ver, no es muy diferente a lo que hacíamos con la fuerza magnética.

 

Campo Magnético generado por una distribución de carga en movimiento

En la mayoría de los problemas vamos a tener que trabajar con una distribución de carga en movimiento y no solo una carga. Para ello tenemos que usar la versión diferencial de la fórmula, cambiando \(q\) por \(dq\) y \(\vec{B}\) por \(\vec{dB}\)

\(d \vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} d q \frac{\vec{v} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

 

Ahí el campo total generado en un determinado punto del espacio, a un distancia \(r\) de la distribución de carga será dado por:

 

\(\vec{B}=\int_{\text distribución} d \vec{B}=\int_{\text distribución} \frac{\mu_{0}}{4 \pi} d q \frac{\vec{v} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

 

Sin embargo, una distribución de carga en movimiento puede ser representada como una corriente eléctrica, es decir, cantidad de carga que pasa por unidad de tiempo, ¿recuerdas?.

 

\(i=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}\)

 

A partir de aquí decimos que una carga infinitesimal está dada por:

 

\(d q=i d t\)

 

Genial, ¡solo que no queremos integrar en el tiempo, sino en la distribución de cargas! Si pensamos en una carga \(d q\) que recorre el material conductor con velocidad \(v\), esa carga en un tiempo \(dt\) recorre una distancia \(d \vec{l}\) de ese material, de manera que la velocidad \(\vec{v}\) puede ser reescrita como:

 

\(\vec{v}=\frac{d \vec{l}}{d t}\)

 

Ves que dentro de la integral de la fórmula para el campo magnético tenemos un \(\vec{v}\) multiplicando? Podemos reescribir esa parte como:

 

\(d q \vec{v}=i d t \frac{d \vec{l}}{d t}=i d \vec{l}\)

 

Sustituyendo en la integral

 

\(\vec{B}=\int_{\text {distribucion}} \frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

 

Y esa es la Ley de Biot-Savart para corrientes!

 

Campo Generado por un Hilo Finito

Ahora, vamos a considerar \(P\), a una distancia \(R\) cualquiera de un hilo de longitud \(L\) que una transporta una corriente \(i\), así como en la situación de abajo, donde el punto \(P\) está sobre esa recta punteada que pasa perpendicularmente por el medio del cable.

 

 

Tenemos una corriente que pasa a través del hilo, que no es más que una distribución de carga en movimiento, que generará un campo magnético, ¿okey? Así que para encontrar ese campo magnético generado en el punto P vamos a utilizar la Ley de Biot-Savart para corrientes:

 

\(\vec{B}=\int_{hilo} \frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

 

Tenemos que integrar especialmente a lo largo del hilo (por medio de \(d \vec{l}\))

 

Primero, vamos a definir nuestros ejes! Voy a escoger la dirección \(z\) apuntando hacia arriba, \(x\) a la derecha, \(y\) entrando en la página, y el origen exactamente en medio del hilo, así:

 

Como el origen está justo en el medio del hilo y el hilo tiene longitud \(L\), entonces va de \(z=-L / 2\) hasta \(z=L / 2\). El punto \(P\) está sobre el eje \(x\) a una distancia \(R\) del hilo, por tanto sus coordenadas serán \((R, 0)\).

 

Ahora vamos a ver con calma cada uno de los términos de nuestra integral. 

 

\(\vec{B}=\int_{hilo} \frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

 

Vamos a definir el vector \(d \vec{l}\) en la dirección y sentido que la corriente se está moviendo. Por tanto, como la corriente se está moviendo en la dirección positiva del eje \(z\), la longitud infinitesimal será dada por:

 

\(d \vec{l}=d z \hat{z}\)

 

Donde \(d z\) es la longitud de ese infinitésimo y \(\hat{z}\) es la dirección en la que se mueve la corriente. 

 

Eso indica que vamos a integrar en la dirección \(z\), es decir, a lo largo del hilo. De ese modo, nuestros límites de integración serán los límites del hilo, desde \(z=-L / 2\) hasta \(z=L / 2\).

 

Ahora tenemos que descubrir \(\hat{r}\) y \(r^{2}\). Para eso, tenemos que tomar un punto genérico del hilo y dibujar el vector \(\vec{r}\) que apunta desde el hilo hasta el punto \( {\textbf P} \). 

 

 

Si le echamos un vistazo al dibujo, podemos ver un triángulo rectángulo formado, y podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar a \(r^{2}\):

 

\(r^{2}=R^{2}+z^{2}=R^{2}+z^{2}\)

 

El vector \(\hat{r}\) es un vector unitario y para encontrarlo necesitamos escoger el vector \(\vec{r}\) y dividir por su módulo:

 

\(\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}\)

 

Viendo el dibujo el vector \(\vec{r}\) viene dado por:

 

\(\vec{r}=R \widehat{x}-z \hat{z}\)

 

Que podemos interpretar como la sustracción de las posiciones final menos la inicial: \(\vec{r}=(R, 0)-(0, z)=(R,-z)\).

 

Y podemos obtener el módulo del vector quitando la raíz cuadrada de la expresión que utilizamos para \(r^{2}\). 

 

Entonces, nuestro vector \(\hat{r}\) es:

 

\(\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r}=\frac{R \widehat{x}-z \hat{z}}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\)

 

Ahora “solo” sustituimos en la integral

 

\(\vec{B}=\int_{hilo} \frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{(d z \hat{z}) \times \frac{R \hat{x}-z \hat{z}}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}}{R^{2}+z^{2}}\)

 

Saqué la corriente \(i\) de la integral porque \(i\) es constante. Así que ordenando todo esto, conseguimos

 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}[\hat{z} \times(R \widehat{x}-z \hat{z})]\)

 

Lo siguiente que haremos es ver con un poco más de atención el producto vectorial

 

\(\hat{z} \times(R \widehat{x}-z \hat{z})=R(\hat{z} \times \widehat{x})-z(\hat{z} \times \hat{z})\)

 

¿Sabes cómo resolver esos productos vectoriales? Te tengo una técnica! 

 

¿Que significa eso? Si hago el producto vectorial \(\widehat{x} \times \hat{y}\), parto de \(x\) y voy en dirección a \(y\) recorriendo el sentido positivo del círculo, de tal forma que \(\widehat{x} \times \hat{y}=+\hat{z}\). Por otra parte, si quiero calcular \(\hat{z} \times \hat{y}\), parto de \(z\) \(z\) y voy en dirección a \(y\) recorriendo en sentido opuesto al del círculo, en consecuencia \(\hat{z} \times \hat{y}=-\hat{x}\). 

 

En nuestro caso queremos calcular \(\hat{z} \times \widehat{x}\) y para eso recorreremos el sentido positivo del círculo, entonces:

 

\(\hat{z} \times \widehat{x}=\hat{y}\)

 

Y el otro producto vectorial es \(\hat{z} \times \hat{z}\). Para ello debemos recordar que \(|\vec{a} \times \vec{b}|=a b \operatorname{sen}(\theta)\). Como el ángulo de un vector con él mismo es \(0^{\circ}\),  entonces \(\vec{a} \times \vec{a}=a^{2} \operatorname{sen}\left(0^{\circ}\right)=0\), así:

 

\(\hat{z} \times \hat{z}=0\)

 

Finalmente quedamos con  

 

 \(R(\hat{z} \times \widehat{x})-z(\hat{z} \times \hat{z})=R \hat{y}\)

 

Y el campo queda 

 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i R}{4 \pi} \int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{y}\)

 

Note que a través del producto vectorial podemos ver que el campo generado en el punto P estará apuntando hacia dentro de la página, pues está en la dirección de \(\hat{y}\)

 

Ahora tenemos que resolver esa pequeña integral JAJAJAJAJA.

Generalmente este tipo de integral viene un un formulario! Pero si quisieras  aprendértela de memoria, tenemos material que podría ayudarte con eso! Solo ve a la sección de cálculo! 

 

Dándote el resultado de la integral

 

\(\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}=\left[\frac{z}{R^{2} \sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right]_{z=-L / 2}^{z=L / 2}=\frac{L / 2}{R^{2} \sqrt{R^{2}+(L / 2)^{2}}}-\frac{(-L / 2)}{R^{2} \sqrt{R^{2}+(-L / 2)^{2}}}\)

 

\(\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{L}{R^{2} \sqrt{R^{2}+\frac{L^{2}}{4}}}\)

 

Volviendo al campo

 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i R}{4 \pi} \frac{L}{R^{2} \sqrt{R^{2}+\frac{L^{2}}{4}}} \hat{y}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{L}{R \sqrt{R^{2}+\frac{L^{2}}{4}}} \hat{y}\)

 

Es un poco aburrido, pero una vez que lo dominas resulta fácil.

 

Campo Generado por un Hilo infinito

QUE???? UN HILO INFINITO???!! ¿Como así?

 

Caaalma!! Decimos que un hilo es infinito cuando se longitud \(L\) es mayor que la distancia \(R\) que el punto P está del hilo.

 

Como consideramos \(R\) muy pequeño, en la expresión de campo magnético para un 

hilo finito en la parte que tiene \(R^{2}\) sumando podemos descartar porque un número casi cero sumado a otro número no hace mucha diferencia, ¿ acaso no es lo mismo?

 

En ese caso, el campo para el hilo infinito queda

 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{L}{R \sqrt{R^{2}+\frac{L^{2}}{4}}} \hat{y}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{L}{R \sqrt{\frac{L^{2}}{4}}} \hat{y}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{L}{R \frac{L}{2}} \hat{y}=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi R} \hat{y}\)

 

Vamos a suponer que ahora queremos calcular el campo (puede ser por el hilo finito también, pero vamos a hacerlo por el hilo infinito) en otro punto que también esté a una distancia \(R\) del hilo, pero no sobre nuestro eje \(x\). Mirando desde arriba, sería algo así:

 

Vimos que en el punto \(P\) el campo magnético apunta en la dirección de \(\hat{y}\). Si queremos saber algo del punto \(P^{\prime}\) podemos definir un nuevo eje de coordenadas \(x^{\prime}\) y \(y^{\prime}\) donde \(P^{\prime}\) está sobre el eje \(x^{\prime}\) (así como \(P\) está sobre el eje \(x\)), y así el campo en \(P^{\prime}\) apuntará en la dirección de \(y^{\prime}\). Más o menos como este dibujo.

Como el campo solo depende de la distancia \(R\) entonces los campos en los puntos \(P\) y \(P^{\prime}\) tienen la misma intensidad, pero direcciones distintas. Si continuamos esta construcción vamos a tener un campo que lucirá así

 

 

¿Te das cuenta de algo? El campo es siempre tangente al círculo dibujado. A lo largo de ese círculo el módulo del campo es el mismo (ya que la distancia hasta la corriente es la misma) y la dirección es tangente a ese círculo.

 

Cuando eso pasa se hace más simple escribir el campo en función del vector \(\widehat{\phi}\), que representa la dirección tangencial en el sistema de coordenadas cilíndricas y apunta en dirección antihoraria. Si quisiéramos expresar un campo en dirección horaria bastaría con escribir algo como \(\vec{B}=B(-\widehat{\phi})\).

 

 

¡Pero tengo un truquito excelente! Puedes utilizar la regla de la mano derecha diferenciada por hallar en qué sentido el campo magnético estará. Solo apunta el pulgar en el sentido en que ocurre el movimiento de la corriente y tus otros dedos te indicarán el sentido del campo. 

 

En nuestro caso, el campo magnético es dado por:

 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi R} \widehat{\phi}\)

 

Los problemas de la vida, cuando el enunciado habla de un “hilo muy largo”, está diciendo que deberías considerar el hilo como infinito en tus cálculos. Así que presta mucha atención. 

 

Plano compuesto por infinitos hilos

Tenemos un hilo saliendo de la malla conforme lo esquematizado abajo.

 

Si utilizas la regla de la mano derecha de la que te hable hace rato, notarás que el sentido del campo magnético será como el que se muestra en la figura:

Teniendo eso en cuenta, podemos encontrar el campo producido por un plano compuesto por infinitos hilos, uno al lado del otro. 

 

 

Vamos a considerar dos hilos 1 y 2, que se encuentran equidistantes de un punto P, y representar el campo producido por cada uno de ellos en ese punto P, como se muestra en la figura

Como los dos hilos están equidistantes del punto P, el módulo del campo generado por el hilo 1 o por el hilo 2 será el mismo. Y al descomponer esos campos en una componente vertical y otra horizontal, veremos que las componentes verticales se anulan:

 

Por tanto, el aspecto final del campo es:

Puedes tener un recordatorio rápido de como se ve esto usando el sentido de que la regla de la mano derecha “sugiere” en este caso.

 

Fuerza Magnética entre Corrientes Paralelas

Pero y si colocamos dos hilos largos 1 y 2 separados por una distancia \(d\), ambos transportan corrientes eléctricas, como muestra la figura, ¿que pasaría?

Ambos hilos van a producir un campo magnético. Pero las cargas en movimiento en presencia de campo magnético sufren la acción de una fuerza magnética, ¿recuerdas?

 

Entonces también habrá una fuerza magnética que actuará sobre el hilo 1 \(\left(F_{2 \rightarrow 1}\right)\) debido al campo que el hilo 2 \(\left(B_{2}\right)\) genera, y una fuerza magnética actuando sobre el hilo 2 \(\left(F_{1 \rightarrow 2}\right)\), debido al campo que el hilo 1 \(\left(B_{1}\right)\) genera. 

 

Vamos a comenzar calculando la fuerza magnética que el hilo 1 ejerce sobre el hilo 2 en la siguiente situación:

 

En ese caso, el campo magnético generado por el hilo 1 en el hilo 2 dado por:

 

\(B_{1}=\frac{\mu_{0} i_{1}}{2 \pi d}\)

 

Donde el campo apunta hacia abajo, de acuerdo con la regla de la mano derecha (puedes comprobarlo).

 

Por tanto, la fuerza magnética que el hilo 1 ejerce sobre un pedazo de tamaño \(L\) de hilo 2 será dada por:

 

\(\vec{F}_{1 \rightarrow 2}=i_{2} \vec{L} \times \overrightarrow{B_{1}}\)

 

\(F_{1 \rightarrow 2}=\frac{\mu_{0} L i_{1} i_{2}}{2 \pi d}\)

 

Utilizando nuevamente la regla de la mano derecha, vemos que la fuerza será de esta forma:

Para que no tengas que preocuparte de hacer la regla de la mano derecha cada vez que trabajes con esto, te daré un consejo.

 

• Corrientes paralelas \(\rightarrow\) Los hilos se atraen;

• Corrientes antiparalelas \(\rightarrow\) Los hilo se repelen;

 

Otro detalle muy importante es que la fuerza generada por el hilo 1 sobre el hilo 2 es igual a la fuerza generada por el hilo 2 sobre el hilo 1 (puedes comprobar). Ambas dadas por:

 

\(F_{1 \rightarrow 2}=F_{2 \rightarrow 1}=\frac{\mu_{0} L i_{1} i_{2}}{2 \pi d}\)

 

¡Además de tener el mismo módulo, las dos tienen sentidos opuestos! ¿Eso te recuerda algo? Si! Estas fuerzas entre dos hilos forman un par acción-reacción!

Sistemas con Más de Dos Hilos

En este caso no hay mucho misterio… En casos como este, nuestro trabajo es analizar cada par de hilos y determinar la fuerza de interacción entre ellos. Presta atención:

 

 

Hilos 1 y 2;

 

\(F_{1 \rightarrow 2}=F_{2 \rightarrow 1}=\frac{\mu_{0} L i_{1} i_{2}}{2 \pi d}\)

 

Los hilos poseen corrientes antiparalelas y se van a repeler.

 

Hilos 2 y 3;

 

\(F_{2 \rightarrow 3}=F_{3 \rightarrow 2}=\frac{\mu_{0} L i_{2} i_{3}}{2 \pi d}\)

 

Nuevamente, los hilos poseen corrientes antiparalelas se van a repeler.

 

Hilos 1 y 3;

 

\(F_{1 \rightarrow 3}=F_{3 \rightarrow 1}=\frac{\mu_{0} L i_{1} i_{3}}{2 \pi(2 d)}\)

 

En este caso, los hilos poseen corrientes paralelas y se atraerán. 

 

A fin de cuentas, el resultado es:

Eso es todo! =)