Campo Magnético Generado por una Bobina

Campo Magnético Generado por una Espira

La situación es la siguiente… Tenemos una espira circular de radio \(R\) y que transporta una corriente eléctrica \(i\), conforme la figura de abajo:

En el tópico de hilos infinitos escribimos el campo magnético por la ley de Biot-Savart como

\(\vec{B}=\int_{h i l o} \frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

Vamos a comenzar considerando la longitud \(\overrightarrow{d l}\) de la figura de abajo.

En coordenadas cilíndricas ese \(d \vec{l}\) es 

\(d \vec{l}=R d \phi \widehat{\phi}\)

Es decir, vamos a integrar en \(\phi\), de \(0\) a \(2 \pi\), recorriendo todo el hilo.

Por el triángulo rectángulo de la figura, la distancia entre cada punto del hilo hasta el punto \(P\) es dada por

\(r=\sqrt{R^{2}+z^{2}}\)

De modo que nos quedamos con 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{(R d \phi \widehat{\phi}) \times \hat{r}}{\left(R^{2}+z^{2}\right)}\)

Como vamos a integrar en \(\phi\) entonces podemos eliminar a todas las \(R\) y \(z\) de la integral 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{R}{R^{2}+z^{2}} \int_{0}^{2 \pi}(d \phi \widehat{\phi}) \times \hat{r}\)

¡Fijate que dejé el producto vectorial para el final! Por eso esta es la parte más importante!

Aquí estamos trabajando en coordenadas cilíndricas. Si quisiéramos que este producto vectorial fuera lindo tendríamos que escribir los vectores \(\widehat{\phi}\) y \(\widehat{r}\) en función de \(\widehat{x}\), \(\widehat{y}\) y \(\widehat{z}\). ¡Solo que eso requeriría mucho trabajo! ¡Para eso usaremos la regla de la mano derecha!

Dibujando los vectores \(\hat{r}\) y \(\widehat{\phi}\), el producto vectorial de ellos sería algo así

Recordando que \(d \vec{l} \times \hat{r}\) tiene que ser perpendicular tanto a \(\hat{r}\) como a \(d \vec{l}\). Este vector está en una dirección extraña. Lo más que podemos hacer es separarlo en una proyección en la dirección \(z\) y otra proyección en la dirección \(x y\).

¿Recuerda una situación similar al campo eléctrico de un hilo circular? Si calculamos el campo eléctrico producido por un hilo con densidad lineal homogénea de carga, el campo eléctrico en el centro del hilo tiene que apuntar en la dirección \(z\), ¿recuerdas? Eso es porque cuando sumamos todas las componentes de todos los pedacitos de hilos el campo en el plano \(x y\) se anula y solo sobra el campo en la dirección \(z\). Aquí pasa algo parecido!

Si tomamos dos puntos del hilo diametralmente opuestos y sumamos los campos de los dos tendremos un campo resultante en la dirección \(z\)! ¿Y como expresamos eso? Basta con corregir nuestra ecuación proyectando el campo en la dirección \(z\) y afirmando a través de lo que hemos explicado aquí que el campo por simetría apunta en la dirección \(z\)! 

Para proyectar en la dirección \(z\), solo debemos multiplicar por el coseno de \(\beta\) dibujado en la figura. Como el campo magnético tiene que ser perpendicular a \(\vec{r}\) y solo ir completando los ángulos para llegar a \(\beta\) aparece en los triángulos rectángulos de la parte izquierda de la figura. Así

\(\cos (\beta)=\frac{R}{r}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\)

Okay! Ahora nuestro campo queda 

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{R}{R^{2}+z^{2}} \int_{0}^{2 \pi}(d \phi \widehat{\phi}) \times \hat{r} \rightarrow \vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{R}{R^{2}+z^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \cos (\beta) d \phi \hat{z}\)

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{R}{R^{2}+z^{2}} \frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} \int_{0}^{2 \pi} d \phi \hat{z}\)

¡¡¡Que bueno que apareció una integral fácil!!!

\(\int_{0}^{2 \pi} d \phi=2 \pi\)

Juntando todo

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{R}{R^{2}+z^{2}} \frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} 2 \pi \hat{z}\)

\(\vec{B}(z)=\frac{\mu_{0} i R^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{z}\)

El sentido del campo magnético es el mismo sentido del momento dipolar magnético, y también puede ser determinado por la regla de la mano derecha ( PERO este es solo un truco para recordar más no la justificación formal!!), donde tu mano debe seguir el sentido de la corriente, y el campo magnético estará en la misma dirección y en el mismo sentido que tu pulgar, ¿okey?

⚠️ OBS.: La regla de la mano derecha es válida para puntos que pertenecen a ejes que pasa por el interior de la espira. Para los puntos que pertenecen a los ejes que pasan fuera de la espira, la dirección determinada por el pulgar se invierte. Vamos a observar la figura de abajo:

Para puntos muy distantes \((z \gg R)\), el campo magnético generado puede ser aproximado a:

\(\vec{B}(z)=\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \hat{z}\)

\(\vec{B}(z) \approx \frac{\mu_{0} i R^{2}}{2 z^{3}}(\hat{z})\)

En el centro de la espira \((z=0)\), tenemos:

\(\vec{B}(z)=\frac{\mu_{0} i}{2 R}(\hat{z})\)

Campo Magnético Generado por una Bobina

Podemos aprovechar la relación a la que llegamos arriba y escribir el campo magnético en función de \(\vec{\mu}\).

Ya sabemos que una bobina no es más que \(N\) espiras “una encima de otra”, recorridas por una corriente eléctrica \(i\). De forma tal que el campo magnético generado en un punto que en será \(z \gg R\) dado por:

\(\vec{B}(z) \approx \frac{\mu_{0} N i R^{2}}{2 z^{3}}(\hat{z})\)

El momento dipolar magnético viene dado por:

\(\mu=N i A\)

El área de la espira \(A\) es dada por:

\(A=\pi R^{2}\)

Entonces:

\(\mu=N i \pi R^{2} \rightarrow \frac{\mu}{\pi}=N i R^{2}\)

Sustituyendo en la expresión del campo magnético, tendremos:

\(\vec{B}(z)=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{\vec{\mu}}{z^{3}}\)

¿Que tal si vamos a entrenar?