Ley General de Biot-Savart

Introducción

Bien, ya aprendimos que la fórmula del campo magnético generado por una carga puntual viene dada por:

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} q \frac{\vec{v} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

Normalmente, luego de aprender eso queremos saber cómo trabajar con distribuciones continuas de carga y hallar el campo de ellas. Básicamente existen dos maneras de hacerlo: la Ley de Biot-Savart y la Ley de Ampère.

Biot-Savart desarrollará algo que ya estamos acostumbrados a hacer. Si decidimos tomar una distribución de cargas y sumar los campos infinitesimales que cada carguita hace, tendremos el campo total. O sea:

\(\overrightarrow{d B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} d q \frac{\vec{v} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

Como una carga de la distribución es demasiado pequeña comparada con todo, la representaremos como una cantidad infinitesimal \(d q\). Normalmente, no tenemos la expresión de la velocidad de cada carga pero sí un valor de la corriente eléctrica en una cierta región. Por tanto, basándonos en la definición de la corriente: 

\(I=\frac{d q}{d t} \rightarrow d q=I d t\)

Utilizando la definición del vector velocidad:

\(\vec{v}=\frac{\overrightarrow{d l}}{d t}\)

Sustituyendo todo:

\(\overrightarrow{d B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I d t \frac{(\overrightarrow{d l} / d t) \times \hat{r}}{r^{2}}\)

Si eliminamos el tiempo en la fórmula, queda así:

\(\overrightarrow{d B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I \frac{\overrightarrow{d l} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

Integrando:

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{\mathrm{cuerpo}} I \frac{\overrightarrow{d l} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

Y tenemos nuestra Ley de Biot-Savart. Una buena pregunta es: ¿cuándo es útil esa ley? La respuesta es: para segmentos de hilos rectilíneos e hilos circulares (o semicirculares, etc). 

No suele ser utilizada para problemas como los del primer caso, porque usualmente deriva en integrales complicadisimas. Pero cuando trabajamos con hilos circulares es nuestra principal aliada.

Ejemplo: Hilo Semicircular

Vamos a calcular el campo del segmento semicircular del hilo en el punto \(P\):

Suponiendo la orientación clásica: 

Aplicando la Ley de Biot-Savart:

\(\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I \int_{\mathrm{hilo}} \frac{\overrightarrow{d l} \times \hat{r}}{r^{2}}\)

Calculando la dirección del producto vectorial:

Si calculas con calma, puedes ver que el ángulo \(\theta\) siempre es \(90^{\circ}\):

\(\overrightarrow{d l} \times \hat{r}=d l(-\hat{z})\)

Sustituyendo, sacamos a \(-\hat{z}\) de la integral:

\(\vec{B}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} I \hat{z} \int_{\mathrm{hilo}} \frac{d l}{r^{2}}\)

Además, tenemos que en este caso \(r\) es constante:

\(r=R\)

\(\vec{B}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi R^{2}} I \hat{z} \int_{\mathrm{hilo}} d l\)

Mientras que la integral \(d l\) es la longitud del hilo:

\(\vec{B}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi R^{2}} I \hat{z}(\pi R)\)

\(\vec{B}=-\frac{\mu_{0}}{4 R} I \hat{z}\)

Y eso es todo. 

Rara vez resolvemos otro tipo de configuración con esta ley. Cuando se trata de un hilo rectilíneo infinito, normalmente utilizamos la Ley de Ampère. Sin embargo, para fines didácticos, en los ejercicios, vamos a estudiar casos en los que calculamos el campo de hilos rectilíneos con Biot-Savart.

Vamos allá!