Ley de Ampère

Introducción

Desde el principio te aviso que: la Ley de Ampère es análoga a la Ley de Gauss para el magnetismo.

¿Como así? Bueno, ¿recuerdas cuando intentamos utilizar la Ley de Gauss para campos magnéticos y siempre resultó cero? Pues bien, con ese resultado no siempre podemos obtener información muy útil sobre el campo magnético… Así que necesitamos una nueva ley. 

La ley de Ampère es enunciada de la siguiente forma:

\(\oint_{C} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}=\mu_{0} I_{i n t}\)

La integral de línea del Campo Magnético por una curva cerrada cualquiera \(C\) es igual a una constante \(\mu_{0}\) veces la corriente que pasa por dentro de la curva.

Cuatro aspectos que necesitas saber sobre la Ley de Ampère:

Lo que todos olvidan: en la Ley de Ampère nuestra integral es una CURVA CERRADA! Esta curva es llamada Amperiana. Es como si fuera un hula hula, no una corteza de sandía o una bolsa de plástico. ¿Genial,no?

El vector \(\overrightarrow{d l}\) es el vector infinitesimal que es tangente a la curva \(C\) en todos los puntos; 

Por tratarse de una integral de línea, la curva \(C\) debe estar orientada. Esta orientación influenciará el signo de las integral y al considerar si la corriente es positiva o negativa;

Por último, esta es la  definición de corriente \(I_{i n t}\). Es una corriente constante que pasa por dentro de la curva \(C\). Este concepto de pasar por “dentro” tal vez sea un poco abstracto al principio, así que vamos a ver algunos ejemplos más tarde.

Circulación de Corriente

Una definición matemática formal de esta cosa viene del Teorema de Stokes, pero esto es la teoría de física y no de cálculo así que quedémonos en la informalidad jajajaja.

Prosiguiendo… en la Ley de Gauss, llamábamos a esa loca integral de flujo del campo eléctrico. En el caso de la Ley de Ampère, no tenemos un flujo, pues nuestra integral no es en una superficie sino en una curva. Entonces, esa cantidad que es la integral de \(\vec{B} \cdot \overrightarrow{d l}\) llamamos Circulación de Corriente:

\(\Gamma_{C}[B]=\oint_{C} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}\)

El hecho es que rara vez trabajamos con esa integral, así que lo que suele pasar es usar la expresión del lado derecho de la Ley de Ampère para calcular la circulación:

\(\Gamma_{C}[B]=\mu_{0} I_{i n t}\)

Ahora veremos cómo calcularla. Observe la figura de abajo.

Tenemos nuestra curva \(C\) en verde, orientada en sentido antihorario y dos hilos pasando por una corriente \(I\). Al final, cuanto es la circulación? Debido a que solo un hilo atraviesa el interior de la curva, tenemos que la circulación debe ser:

 \(\Gamma_{C}[B]=\pm \mu_{0} I\)

Ahora, ¿será positivo o será negativo? Eso depende de la orientación de la curva, y podemos relacionarla con el sentido de la corriente. Recuerdas el vector área? Vamos a seguir trabajando con él a continuación. Si la curva se encuentra orientada conforme al dibujo, por la regla de la mano derecha, colocamos nuestros dedos en el sentido de la curva \(C\) y nuestro pulgar será el vector área. Por tanto:

Como la corriente y el vector área están en el mismo sentido, tenemos que la circulación de este hilo será positiva. Entonces:

\(\Gamma_{C}[B]=\mu_{0} I\)

Lo que el sujeto hace cuando fija una orientación a la curva es fijar una orientación al vector área. Al estudiar la Ley de Faraday vamos necesitar bastante  de esos conceptos. Tal vez en estos momentos no veas tan importante al vector área pero en el futuro lo entenderás. 

¿Te gustaría ver más ejemplos? 

Si tuviéramos varios hilos dentro de la curva:

Encontraste el vector área por la regla de la mano derecha:

Así que, la circulación de corriente es solo la suma de todo eso, respetando los signos:

\(\Gamma_{C}[B]=\mu_{0}(-I+2 I+3 I-4 I)\)

\(\Gamma_{c}[B]=0\)

¿Bien? Ahora, si la curva tiene una forma extraña:

¿Cómo haríamos en ese caso? ¿Esa curva es válida? Sí, pues el único requisito es que una curva posea orientación única. Si sigues la flechas con tu dedo, verás que la orientación es constante. 

La solución es más simple de lo que parece. La circulación de corriente no es más que una integral. Una integral es como una suma, por lo que hereda varias propiedades, como por ejemplo la asociatividad. Así que el truco es separar en dos simples curvas:

\(\oint_{C_{1} \cup C_{2}} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}=\oint_{C_{1}} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}+\oint_{C_{2}} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}\)

\(\Gamma_{C_{1} \cup C_{2}}=\Gamma_{C_{1}}+\Gamma_{C_{2}}\)

Y después sumar. En este caso, es:

Por tanto la circulación es:

\(\Gamma_{C}[B]=\mu_{0} I+\mu_{0} I\)

\(\Gamma_{C}[B]=2 \mu_{0} I\)

Y eso es todo lo que involucra la circulación de corriente. Espero que hayas disfrutado del paseo. ;D

Corrección de Maxwell

Si, lo sé, la Ley de Ampère es linda… pero resulta que está incompleta. Maxwell se dio cuenta que había casos en los que no encontraba el campo magnético, así que decidió ayudar a su colega:

\(\oint_{C} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}=\mu_{0} I_{i n t}+\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \phi[E]}{\partial t}\)

Es decir, puso un nuevo factor en la fórmula. Ya conocemos la constante \(\epsilon_{0}\) de otros carnavales, pero ¿y ese otro pedazo?.

El \(\phi[E]\) corresponde al flujo de campo eléctrico por dentro de la curva \(C\), es decir:

\(\phi[E]=\iint_{S} \vec{E} \bullet \overrightarrow{d A}\)

Esto es una reminiscencia de la Ley de Gauss, pero ten cuidado, porque esta superficie está siempre abierta  y tiene como borde la curva \(C\). 

Lo que inspiró esta corrección fue un condensador siendo cargado. Presta atención, conforme este se va cargando, surge un campo eléctrico variable entre las extremos de las placas. Si colocamos una Amperiana allí, tendremos lo siguiente:

Por lo que hemos estudiado hasta ahora, no debe haber ninguna corriente atravesando la Amperiana, entonces:

\(I_{i n t}=0\)

Lo que nos deja con:

\(\oint_{C} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}=\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \phi[E]}{\partial t}\)

Ahora solo hay que calcular el flujo eléctrico, derivar en relación al tiempo y colocarlo en la fórmula 

Vamos a designar con el nombre de corriente de desplazamiento a este nuevo término:

\(I_{d e s}=\epsilon_{0} \frac{\partial \phi[E]}{\partial t}\)

Y para que nadie se ponga celoso, bautizamos a la antigua corriente como corriente de conducción \(\left(I_{\text {cond }}\right)\). Por tanto, podemos escribir la Ley corregida de la siguiente manera:

\(\oint_{C} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}=\mu_{0} I_{c o n d}+\mu_{0} I_{d e s}\)

Recordando…

Corriente de conducción \(\left(I_{c o n d}\right)\): Es la corriente proveniente del movimiento de las cargas;

Corriente de desplazamiento \(\left(I_{d e s}\right)\): Es la corriente proveniente de la variación del flujo eléctrico a través de la Amperiana.

Esa es la corrección de Maxwell.

Campo Magnético en el Interior de un Conductor

El caso que más verás probablemente sea este:

Tenemos un hilo largo (infinito),cilíndrico, de radio \(R\) que transporta una corriente \({i}\).

La idea es la siguiente…  si vamos calculamos el campo magnético a una distancia \(r \geq R\) (fuera del hilo) del eje de simetría del hilo, solo debemos usar la Ley de Ampère y tendremos que:

\(\oint_{C} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d l}=\mu_{0} I_{i n t}\)

En este caso, debido a la simetría cilíndrica del conductor, lo mejor sería utilizar una amperiana circular, de forma que:

\(B \cdot(2 \pi r)=\mu_{0} i\)

Entonces:

\(B(r)=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi r}\)

\((\text {Campo magnetico en r}<R)\)

En realidad, no necesitas memorizar esa última fórmula. Recapitulando, cuando tengamos que calcular el campo magnético en el interior de un hilo conductor, tendremos que:

Calcular la corriente \(I_{i n t}\) en el interior de la amperiana;

Sustituir esa corriente en la expresión del campo magnético \(B(r)\);

Ahora solo dependerá de lo que el problema te diga en relación a la densidad de corriente. Si la densidad de corriente es una función de \(r(J(r))\, solo debemos sustituirla en la integral. Si el enunciado indica que la corriente está uniformemente distribuida, podemos resolver mediante otro procedimiento, vamos a echarle un vistazo al siguiente ejemplo. 

Conductor con Corriente Uniformemente Distribuida

Siempre que el problema hable sobre corriente distribuida uniformemente, podemos simplificar nuestra mediante la siguiente relación.

Presta atención… tenemos un conductor cilíndrico de radio \(R\) que transporta una corriente \(i\), uniformemente distribuida en su sección recta, vamos a calcular el campo magnético en cualquier punto tal de \(r<R\). 

Si la corriente está uniformemente distribuida, entonces la densidad de corriente es constante. Además, sabemos que la corriente total en el conductor es \(i\), por tanto:

\(J=\frac{I}{A}= const.\) 

\(J=\frac{i}{\pi R^{2}}=\frac{I_{i n t}}{\pi r^{2}}\)

\(I_{i n t}=i \frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}}\)

\(I_{i n t}=i \frac{r^{2}}{R^{2}}\)

Sustituyendo en la expresión del campo magnético, tendremos:

\(B(r)=\frac{\mu_{0} I_{i n t}}{2 \pi r}\)

\(B(r)=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi r} \frac{r^{2}}{R^{2}}\)

Finalmente:

\(B(r)=\frac{\mu_{0} i r}{2 \pi R^{2}}\)

¿Ves? No es un animal de 7 cabezas… 

Nuevamente, cuando el problema hable sobre densidad de corriente constante, o corriente distribuida uniformemente, tendremos que ir por el mismo camino… lo que cambia de una cuestión a otra es la sección recta del conductor.

Echémosle un vistazo a los ejercicios para reforzar conocimientos