Ley de Ampère en Solenoides y Toroides

Hasta ahora hemos cómo usar la ley de Ampère para calcular el campo magnético generado por un hilo con corriente \({i}\). Pero, ¿y si tuviéramos más hilos? ¿Cómo sería?

Ley de Ampère para un plano infinito de hilos

Veamos este caso específico con dos hilos y tratemos de calcular el campo magnético en el punto \(P\) que está a la misma distancia de los dos hilos

Ya sabemos que el módulo del campo magnético generado por cada uno de los hilos tendrá la misma magnitud y la dirección de cada punto será dada por la regla de la mano derecha. 

Al sumar las dos contribuciones obtendremos un campo horizontal, ya que las componentes verticales se anularán!  

Genial! ¿Pero qué tiene eso de importante? Algo que se suele ver muchísimo es cuando tenemos un plano con hilos infinitos.

Para cada hilo rojo (a la izquierda) habrá un hilo verde (a la derecha), de forma que cada par de hilos producirá un campo magnético horizontal! Además, dicho campo también será uniforme!

La representación sería más o menos así:

Por la regla de la mano derecha, por encima del plano el campo magnético apunta a la derecha y por debajo del plano apunta a la izquierda.

Okay, ahora podemos aplicar la ley de Ampère (¿te acuerdas de ella?) en este problema!

Vamos a escoger como curva amperiana un rectángulo de altura \(h\) y base \(L\), como en la figura de abajo

Por la ley de Ampère tenemos que 

\(\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}=\mu_{0} I_{i n}\)

Como el campo es horizontal, la integral de línea a la izquierda solo tendrá contribución de la base del rectángulo 

\(\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}=2 B L\)

La corriente \(I_{i n}\), total pasando por dentro de la amperiana será el número de hilos dentro de esa curva multiplicada por la corriente en cada hilo. 

Suponiendo que en ese plano infinito hay \(n\) hilos por longitud, el total de hilos dentro de la amperiana será \(n L\), de forma que 

\(I_{i n}=n L i\)

Juntando toda la información, tenemos

\(\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}=\mu_{0} I_{i n} \rightarrow 2 B L=\mu_{0} n L i\)

\(B=\frac{\mu_{0} n i}{2}\)

Y aquí está nuestro campo \o/

Fíjate que vimos aquí el caso de la corriente saliendo del plano de la hoja! Cuando la corriente está entrando, la intensidad del campo es la misma que vimos ahora, pero la dirección del campo cambia (debido a la regla de la mano derecha)

Ahora aplicaremos la Ley de Ampère para calcular el campo magnético en el interior de solenoides y toroides. No vayas a confundir los nombres ( para mí, por lo menos, resultan bastante parecidos). ¡Así que presta atención!

Ley de Ampère en Solenoides

Un solenoide es una bobina helicoidal formada por espiras circulares muy cercanas entre sí.

En el interior de un solenoide largo recorrido por una corriente \(I\), en puntos distantes de los extremos (que es como suelen preguntar en los problemas), el módulo \(B\) del campo magnético es dado por:

\(B=\mu_{0} i n\)

Donde \(n\) es el número de espiras por unidad de longitud. 

La representación de las líneas del campo magnético en un solenoide es mostrada en la figura de abajo por las flechas verdes.

Ley de Ampère en Toroides

Un toroide puede ser descrito como un solenoide cilíndrico que fue doblado hasta que sus extremos se tocan, formando así un anillo como el de la figura de abajo.

En un punto en el de un toroide el módulo \(B\) del campo magnético es dado por:

\(B=\frac{\mu_{0} i N}{2 \pi r}\)

Donde \(N\) es el número total de espiras y \(r\)  la distancia entre el punto y el centro del toroide.