Variaciones del Flujo Magnético

Introducción

Nuestra hermosa ley de Faraday nos dice que una variación en el flujo del campo magnético sobre un circuito produce una fuerza electromotriz en él, ¿te acuerdas?

\(\mathscr{E}=-\frac{\partial \phi[B]}{\partial t}\)

Y podemos encontrar este flujo mediante la expresión:

\(\phi[B]=\iint_{S} \vec{B} \bullet \overrightarrow{d A}\)

Pero si te pregunto: ¿cómo podemos hacer variar el flujo magnético?

Eso es lo que vamos a descubrir 

Formas de variar el flujo

Debemos saber que para calcular el flujo tenemos que resolver un producto escalar, que es dado por la siguiente expresión:

\(\vec{B} \bullet \overrightarrow{d A}=B d A \cos (\theta)\)

Por tanto, si variamos el módulo del campo, o variamos el área del circuito en cuestión, o variamos el ángulo \(\theta\) entre los dos vectores \(\vec{B}\) y \(\overrightarrow{d A}\), estaremos variando el flujo magnético. 

Veamos las formas de hacerlo que más aparecen en los exámenes.

Espiras de Área Fija y Campo Magnético Variable

Primero, vamos a considerar el caso en que el área de la espira y el ángulo entre los vectores se mantienen fijos, pero el campo magnético está variando.

Existen dos maneras de variar el campo magnético: haciéndolo variar con la posición o con el tiempo. 

Primero,vamos a imaginar que tenemos un campo magnético que no varía con la posición, es decir, es uniforme, pero varía con el tiempo. 

Como el campo magnético no varía con la posición, podemos sacarlo de la integral, simplificando así el flujo magnético:

\(\phi[B]=\iint_{S} B(t) d A \cos (\theta)=B(t) \cos (\theta) \iint_{S} d A=B(t) A \cos \theta\)

Donde \(\theta\) es el ángulo entre el vector campo magnético y el vector área (perpendicular al plano de la espira).

Si consideramos que el campo y el vector área son paralelos, es decir, \(\theta=0^{\circ}\) el flujo se simplifica aún más, pues \(\cos 0^{\circ}=1\)

\(\phi[B]=B(t) A\)

Así que cuando pongamos esto en la ley de Faraday, vamos a tener lo siguiente:

\(\mathscr{E}=-\frac{\partial(B A)}{\partial t}\)

Como el área es constante, simplemente la sacamos de la derivada. Entonces la \({ fem }\) inducida será dada por:

\(\mathscr{E}=-A \frac{\partial B}{\partial t}\)

Podemos tener un campo así:

El primer paso es dividir el gráfico para analizar cada región individualmente: 

En la regiones \((i)\) y \((i i i)\), por ejemplo, vemos que el campo magnético está aumentado con el tiempo. Entonces:

\(\left(\frac{d B}{d t}\right)>0\)

Y luego hacemos lo mismo con las otras regiones. ¿Entendiste?

Otra situación de campo variable con el tiempo es esta de aquí:

Ten en cuenta que a medida que acercamos la espira mayor a la menor el campo magnético sobre la espira mayor aumentará con el tiempo porque se estará acercando a la fuente del campo 

\(\frac{d B}{d t}>0\) 

\(\mathscr{E}<0\)

Cuando alejamos las espiras, el campo magnético irá disminuyendo con el tiempo en la espira mayor, por tanto:

\(\frac{d B}{d t}<0\)

\(\mathscr{E}>0\) 

Y si tuviéramos un campo que no varía con el tiempo, pero sí con la posición?

En el caso del campo magnético no-uniforme, el enunciado tiene que informarte cómo es que el campo magnético varía a través de la espira. 

Eso afectará el cálculo del flujo magnético, que en este caso será dado por:

\(\phi[B]=\iint_{S} B d A\)

Aquí es donde reside el peligro… así que debemos tener cuidado en la forma en que vamos a integrar esa cosa. En los ejercicios de refuerzo veremos mejor el tamaño del problema. 

Una vez calculado el flujo magnético, lo que queda es alegría! Ponlo en la ley de Faraday y sé feliz.

Espiras de Área Variable y Campo Magnético Constante

Vamos a considerar una espira que tiene una barra deslizamiento como se muestra en la figura:

Primero vamos a asumir que el vector \(\overrightarrow{d A}\) está apuntando hacia afuera, así como el campo magnético, de modo que estos son paralelos y el flujo puede ser escrito como 

\(\phi[B]=\iint_{S} B d A\)

El campo magnético es uniforme y constante, es decir, no varía ni con el tiempo ni con la posición, entonces

\(\phi[B]=B \iint_{S} d A=B A\)

El área de la espira puede ser reescrita como:

\(A=l x\)

De ese modo el flujo también puede reescrito

\(\phi[B]=B l x\)

Pero presta bastante atención!!! El área de la espira aumenta con el tiempo porque la barra de longitud \(L\) se desliza hacia la derecha. La longitud \(L\) de la barra se mantiene constante, lo que irá aumentando con el tiempo es el tamaño \(x\)

Vamos a colocar eso en la ley de Faraday:

\(\mathscr{E}=-\frac{\partial \phi[B]}{\partial t}=-\frac{\partial B l x}{\partial t}=-B l \frac{\partial x}{\partial t}\)

Como la velocidad es definida de la siguiente manera 

\(v=\frac{\partial x}{\partial t}\)

Tenemos que 

\(\mathscr{E}=-B l v\)

Variación del ángulo entre los vectores

IMPORTANTE!!! Normalmente pensamos que si el módulo del campo o el área de la espira varían, el flujo no variará. Ten mucho cuidado con eso.

Observa la siguiente situación

Conforme la espira va girando el ángulo entre los vectores \(\vec{B}\) y \(\overrightarrow{d A}\) varia y por lo tanto el flujo también varía, incluso el campo y el área de la espira siendo constantes. 

Espiras Cercanas a un Hilo

La idea ahora es aplicar la ley de Faraday en espiras que se encuentran cercanas a un hilo, como se muestra en la figura de abajo.

Ahora las cosas son un poco distintas, porque el campo magnético generado por el hilo conductor no es uniforme y, de acuerdo con la ley de Ampère, va a variar con \(x^{\prime}\) de esta forma:

\(B(x)=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi x^{\prime}}\)

Donde \(x^{\prime}\) es la distancia entre el hilo y un punto cualquiera del espacio. 

El elemento \(d A\) en este caso será:

\(d A=l d x^{\prime}\)

Considerando que el vector \(\overrightarrow{d A}\) apunta hacia afuera así como el campo generado por el hilo en la región donde está la espira, el flujo magnético será:

\(\phi[B]=\int_{x}^{x+a} \frac{\mu_{0} i}{2 \pi x^{\prime}} l d x\)

Sacando los términos constantes de la integral y revolviéndola, tendremos lo siguiente:

\(\phi[B]=\frac{\mu_{0} l i}{2 \pi} \ln \left(\frac{x+a}{x}\right)\)

Aparentemente el flujo parece constante ¿no es así? Por tanto, no se generaría una fuerza electromotriz en la espira, pero cuidado porque todavía existen maneras de que las cosas se pongan complicadas. 

Una manera de hacerlo es poniendo la corriente como variable con el tiempo y el flujo pasa a variar 

\(\phi[B]=\frac{\mu_{0} l i(t)}{2 \pi} \ln \left(\frac{x+a}{x}\right)\)

O entonces moviendo la espira, en este caso,\(x\) variaría con el tiempo 

\(\phi[B]=\frac{\mu_{0} l i}{2 \pi} \ln \left(\frac{x(t)+a}{x(t)}\right)\)

De todos modos, veremos esto más a fondo en los ejercicios, así que no te preocupes

Espiras de Área Fija que se Desplazan en Relación a un Campo Magnético 

Lo sé, se está poniendo aburrido. Este será el último caso, lo prometo. 

Básicamente la situación es esta: tenemos una espira de área constante, que se mueve en el espacio. Qué sucede con la \({ fem }\) inducida cuando la espira se mueve a través de una región con campo magnético constante y uniforme?

Obs: La región azul de la figura indica el área donde se encuentra el campo magnético uniforme, ¡eh!

En los instantes 1, 3 y 5 no hay variación de flujo magnético porque, o la espira está fuera de la región del campo magnético, o totalmente inmersa en la región del campo magnético.

Durante el proceso de entrada y salida de la espira de la región del campo magnético, el área por donde pasa el campo magnético a través de la espira es dada por:

\(A=l x\)

Ya que el área varía conforme la espira entra en la región.

Asumiendo nuevamente que los vectores \(\vec{B}\) y \(\vec{dA}\) son paralelos

\(\phi[B]=B l x\)

Entonces, la \({fem}\) inducida será dada por:

\(\mathscr{E}=-\frac{\partial \phi[B]}{\partial t}=-B l \frac{d x}{d t}\)

Durante la entrada, \(\frac{d x}{d t}>0\), luego:

\(\mathscr{E}=-B l v\)

Durante la salida, \(\frac{d x}{d t}<0\), luego:

\(\mathscr{E}=B l v\)

Obs: No siempre la velocidad será constante, pero el principio es el mismo. 

Eso es todo! ¿Qué tal si ahora vamos a practicar? =)