Inductores e Inductancia

Introducción

¿Recuerdas que estudiamos que los flujos de los campos magnéticos variables inducen una fuerza electromotriz?

\[\mathscr{E}=-\frac{\partial \phi[B]}{\partial t}\]

Pero será posible cuantificar la capacidad que tiene un circuito de inducir \({ fem }\)? Si, es ahí donde entra la inductancia.

Vamos allá!

Inductores 

Un dispositivo que es capaz de generar variaciones de flujo magnético en un circuito y como consecuencia de ello inducir una fuerza electromotriz, es llamado inductor. 

Esa capacidad de inducir \({ fem }\) es lo que llamamos inductancia.

El inductor es capaz de inducir \({ fem }\) en otros circuitos (inductancia mútua) y en sí mismo (autoinductancia).

Ten en cuenta que cualquier circuito por el que pasa una corriente no-estacionaria tiene algún tipo de inductancia, debido a que la corriente va variando, el módulo del campo magnético también varía y con eso habrá una variación de flujo de campo, ¿de acuerdo?

Pero el único caso que vamos a estudiar aquí es el más simple, el del hilo enrollado en espiral, es decir, nuestro querido solenoide. 

Autoinductancia

La autoinductancia es un fenómeno que ocurre en una espira o solenoide, y proviene del campo producido por su propia corriente.

Si un solenoide con \(N\) espiras conduce una corriente \({i}\), esta corriente va a producir un flujo magnético \(\phi[B]\) en la región central del inductor.

Ahora ¿estás de acuerdo conmigo en que si la corriente varía con el tiempo, el flujo inducido en esta región central también varía?

Por la Ley de Faraday:

\[\mathscr{E}=-\frac{\partial \phi_{\text {circuito }}}{\partial t}\]

Esta \({ fem }\) es bautizada cariñosamente como \(\textbf{fem}\) autoinducida. El sentido de esa \({ fem }\) autoinducida es dado por la Ley de Lenz, oponiéndose a la variación que la produce. 

Como el flujo total del circuito es \(N\) veces el flujo en cada vuelta del hilo, tenemos que:

\[\phi_{\text {circuito }}=N \phi_{B}\]

Sustituyendo, podemos sacar la constante hacia fuera de la derivada: 

\[\mathscr{E}=-N \frac{\partial \phi_{B}}{\partial t}\]

¿Qué flujo de campo magnético es ese? Es el flujo del campo generado por la propia corriente del solenoide. ¿Recuerdas cómo es la fórmula de campo generado por un solenoide? Es esta de aquí!

\[B=\mu_{0} n i\]

Donde \(n\) es el número de espiras por unidad de longitud, dado por:

\[n=\frac{N}{l}\]

(Si no recuerdas, échale un vistazo a nuestro tópico “Ley de Ampère en Solenoides y Toroides”)

Por tanto, si definimos el vector área del solenoide paralelo al vector campo magnético, el flujo de campo magnético a través del solenoide será:

\[\phi_{B}=A B=A \mu_{0} n i=\frac{A \mu_{0} N i}{l}\]

Donde \(A\) es el área de la sección transversal del solenoide.

Allí la fem inducida será 

\[\mathscr{E}=-N \frac{\partial \phi_{B}}{\partial t}=-N \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{A \mu_{0} N i}{l}\right)\]

\[\mathscr{E}=-\frac{\mu_{0} N^{2} A}{l} \frac{\partial i}{\partial t}\]

Como toda esa cosa está multiplicando la derivada de la corriente es constante, la definimos como \(L\), la llamada autoinductancia:

\[\mathscr{E}=-L \frac{\partial i}{\partial t}\]

La unidad de medida de la inductancia es llamada henry \((H)\) y es definida por:

\[\text{1 henry}=1 H=1 \frac{T \cdot m^{2}}{A}\]

Entonces, nuestra autoinductancia \(L\) puede expresarse de dos maneras:

\[L=\frac{N \phi_{B}}{i}\]

O

\[L=\frac{\mu_{0} N^{2} A}{l}\]

Solenoides Largos 

Toda las veces que el problema hable sobre un “solenoide largo”, termina siendo más fácil, en lugar de calcular la autoinductancia, calculamos la autoinductancia por unidad de longitud, dada por:

\[\frac{L}{l}=\mu_{0} n^{2} A\]

Donde \(A\) es el área transversal del inductor, y \(n\) es el número de espiras por unidad de longitud, dado por:

\[n=\frac{N}{l}\]

Inductancia Mutua

La medida de la tendencia de un circuito inducir corriente en otro circuito se denomina inductancia mutua. Supongamos que tenemos dos solenoides, solo que, inicialmente, el circuito \(1\) no tiene corriente:

Sean:

\(i_{1}\) y \(i_{2}\): Las corrientes en cada solenoide, como \(i_{1}=0\);

\(N_{1}\) y \(N_{2}\): Número de espiras en cada solenoide;

\(\phi_{1}\) y \(\phi_{2}\): Flujo magnético a través de una vuelta de cada solenoide; 

\(\mathscr{E}_{1}\) y \(\mathscr{E}_{2}\): Fem en cada solenoide;

Vamos a tener que, por la Ley de Faraday:

\[\mathscr{E}_{1}=-\frac{\partial \phi_{\text {circuito } 1}}{\partial t}\]

Como el flujo total en el circuito \(1\) es \(N_{1}\) veces el flujo por cada vuelta del hilo, tenemos:

\[\phi_{\text {circuito }} 1=N_{1} \phi_{1}\]

Sustituyendo, podemos sacar la constante fuera de la derivada:

\[\mathscr{E}_{1}=-N_{1} \frac{\partial \phi_{1}}{\partial t}\]

Hasta aquí nada nuevo. La novedad viene de la siguiente declaración: el flujo en el circuito \(1\) es proporcional a la corriente en el circuito \(2\). Esto ocurre porque el flujo de campo en el circuito 1 es generado por la corriente que pasa por el circuito 2.

Es decir:

\[N_{1} \phi_{1} \propto i_{2}\]

Cuando dos cosas son proporcionales, existe una constante de proporcionalidad que las relaciona. Esta constante es la inductancia mutua \(M\):

\[N_{1} \phi_{1}=M i_{2}\]

Dicho esto, podemos derivar ambos lados con respecto al tiempo:

\[N_{1} \frac{\partial \phi_{1}}{\partial t}=M \frac{\partial i_{2}}{\partial t}\]

Sustituyendo la expresión de la Ley de Faraday:

\[\mathscr{E}_{1}=-M \frac{\partial i_{2}}{\partial t}\]

O sea, la \({fem}\) inducida en el circuito 1 es directamente proporcional a la variación de corriente en circuito 2. 

Hasta aquí bien, la corriente en el circuito \(2\) induce una \({fem}\) en el circuito \(1\).

Ahora el circuito 1 tiene una nueva corriente propia \(i_{1} \neq 0\), y como tiene corriente, hará un campo propio:

Si tiene un campo propio, mira que maravilla: inducirá una \({ fem }\) en el circuito 2

¿Nos hemos vuelto locos? No, porque somos unos cerebritos.

El hilo \(2\) posee una fem propia antes de \(\mathscr{E}_{2} \neq 0\), y ahora tendrá esa \(\textit { fem }\)antigua más la \(\textbf{ fem }\) inducida por el hilo \(1\). Pero nosotro solo necesitamos calcular la \({fem}\) inducida, y esta puede ser encontrada mediante el mismo método que usamos para hallar la del circuito \(1\). Sabemos que el flujo inducido en el \({2}\) es proporcional a la corriente en el \({1}\).

\[N_{2} \phi_{2} \propto i_{1}\]

Y esta constante de proporcionalidad, no por casualidad, es la inductancia mutua entre los circuitos:

\[N_{2} \phi_{2}=M i_{1}\]

Derivando ambos lados y sustituyendo la Ley de Faraday para el circuito \({2}\):

\[\mathscr{E}_{2}=-M \frac{\partial i_{1}}{\partial t}\]

Finalmente, podemos decir que la definición de la inducción mutua es:

\[M=\frac{N_{1} \phi_{1}}{i_{2}}=\frac{N_{2} \phi_{2}}{i_{1}}\]

Cuando vamos a analizar estas ecuaciones, tenemos que ser muy cuidadosos. Primero, la inductancia mutua es una constante  que depende solo de la geometría de los dos circuitos (número de espiras, longitud, área de la sección, etc.) y no de la corriente o del campo magnético.

Como puedes ver que tenemos varias maneras de calcular la inductancia mutua, solo depende de la información dada por la pregunta. Aunque es un concepto nuevo, tenemos todas las herramientas para calcular su valor. 

Bien, ahora solo una cosa más… 

Solenoides Llenos de Materiales Magnéticos

En casos no muy comunes, algunos problemas plantean solenoides llenos de materiales magnéticos. Por lo tanto, es válido tocar el tema: 

En el interior de un material magnético, el campo magnético será dado por:

\[B=\left(1+\chi_{m}\right) B_{0}\]

Donde \(B_{0}\) es el campo magnético en el vacío y \(\chi_{m}\) es una propiedad adimensional llamada susceptibilidad magnética. 

En este caso, la autoinductancia en un inductor lleno de material magnético será:

\[L=\left(1+\chi_{m}\right) L_{0}\]

Donde \(L_{0}\) es la autoinductancia en el vacío.

Eso es todo! ¿Vamos a los ejercicios?