Energía y Densidad de Energía en un Campo Magnético

Energía Almacenada en Inductores

La fórmula de la energía almacenada en un inductor es:

\(U_{B}=\frac{L i^{2}}{2}\)

Donde \(L\) es la inductancia e \(i\) la corriente estacionaria pasando por él.

Afortunadamente, a diferencia del condensador, no tenemos otras dos formas de interpretar esto. Esta es la mejor de todas. 

No creo que valga la pena colocar la demostración, pero cualquier cosa presiona el botón rojo. 

Densidad de Energía del Campo Magnético

De la mismo forma que el campo eléctrico tiene una energía asociada a él. el magnético tambíen tiene. La diferencia es que el campo magnético no tiene un función potencial asociada, es decir, no es conservativo y no podemos hablar de “energía potencial magnética”.

Dicho esto, podemos memorizar que la densidad de energía, es decir, la energía almacenada en un elemento infinitesimal del espacio es:

\(u_{B}=\frac{d U_{B}}{d V}=\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}\)

Y si queremos hallar la energía en una cierta región, solo tenemos que integrar. No tiene ninguna novedad con respecto a la densidad de energía del campo eléctrico. Más una vez, si queremos hallar la energía en una cierta región, basta integrar en la región:

\(U_{B}=\iiint_{V} \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} d V\)

Permíteme darte un mega consejo: en general o bien este campo magnético es uniforme (constante en el espacio) o bien tiene simetría cilíndrica y solo depende de la distancia radial (generalmente tendrás que calcular el campo usando la Ley de Ampère, ¿okay?).

Si el campo es uniforme la integral queda 

\(U_{B}=\iiint_{V} \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} d V=\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} \iiint_{V} d V=\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} V\)

Es decir, solo hay que multiplicar la densidad de energía por el volumen. 

Si el campo tiene simetría cilíndrica y depende de la distancia, suponiendo que estamos hablando de un cilindro de longitud \(L\), tendremos:

\(U_{B}=\iiint_{V} \frac{B(r)^{2}}{2 \mu_{0}} d \phi r d r d z=\frac{1}{2 \mu_{0}} \int B(r)^{2} r d r \int_{0}^{2 \pi} d \phi \int_{0}^{L} d z\)

\(U_{B}=\frac{2 \pi L}{2 \mu_{0}} \int B(r)^{2} r d r\)

Dejaré los límites de integración abiertos porque dependerá del problema que estés resolviendo! Si es un cilindro de radio \(R\) entonces los límites son de \(0\) a \(R\), en cambio, si fuera una corteza cilíndrico de radio interno \(a\) y el radio externo \(b\) entonces será una integral desde \(a\) hasta \(b\).

¡Bien! Hagamos los ejercicios, nos dejarán boquiabiertos!