Circuitos RL

Introducción

Ahora que hemos estudiado sobre inductores e inductancia, veamos como funciona este elemento dentro de un circuito. Empecemos el más simple de todos, el circuito RL, está compuesto por una resistencia y un inductor.

Vamos a comenzar recordando algunas cosas sobre inductores!

 

Inductores

Lo primero que debemos recordar es la definición de inductancia:

\(L=\frac{N \phi_{B}}{i}\)

 

Cuando tenemos una espira, \(N=1\). 

 

Además, debemos recordar a la fuerza electromotriz autoinducida, pues es la que nos interesa cuando hablamos de circuitos RL.

 

\(\mathscr{E}_{L}=-L \frac{d i}{d t}\)

 

Debemos saber que el conductor se opondrá a cualquier variación de corriente que lo atraviese y luego de un largo tiempo se comportará como un hilo normal. Es decir, cuando pensemos en un inductor en el circuito, tan pronto como enchufemos la batería, el inductor producirá \({ fem }\) una que se opondrá a la corriente generada por la batería.

 

Circuitos RL

Vamos a analizar cómo funciona la ley de mallas cuando existe un inductor en el circuito! Presta atención a la figura de abajo! El inductor es designado en el circuito como un solenoide!

 

Bien, veamos cómo queda la variación de potencial cuando recorremos el circuito en el sentido de la corriente, comenzando por el resistor:

 

  • Resistor \(R\): Al pasar por el resistor, el potencial varía \(-i R\);

  • Inductor L: Al pasar por el inductor, el potencial varía \(-L \frac{d i}{d t}\);

  • Fuente: Al pasar por la fuente, recorriendo desde el polo negativo hacia el polo positivo, el potencial varía \(+\mathscr{E}\).

 

Por la Ley de mallas tenemos:

 

\(-i . R-L . \frac{d i}{d t}+\mathscr{E}=0\)

 

\(i R+L \frac{d i}{d t}=\mathscr{E}\)

 

La solución de dicha ecuación es:

 

\(i=\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-e^{-\frac{R t}{L}}\right)\)

 

Donde \(\frac{L}{R}\) puede ser sustituido por \(\tau_{L}\), que es denominada como constante de tiempo. Esa ecuación nos da el aumento de la corriente en el circuito!

 

\(i=\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau_{L}}}\right)\)

 

Por la ecuación hallada para la corriente podemos sacar algunas conclusiones:

 

  • Para \(t=0\), tenemos que la corriente \(i\) es cero.

  • Para \(t \rightarrow \infty\), tenemos que la corriente será \(\frac{\mathscr{E}}{R}\).

 

Al retirar la batería del circuito, la corriente no se irá a cero inmediatamente, el inductor se opondrá a la variación de corriente, la ley de mallas, ahora sin batería será:

 

\(i R+L \frac{d i}{d t}=0\)

 

La solución de esa ecuación será:

 

\(i=\frac{\mathscr{E}}{R} e^{-\frac{t}{\tau_{L}}}\)

 

Esa es la ecuación de la disminución de la corriente. Podemos notar que tanto el aumento de corriente como la disminución son gobernadas por constante de tiempo \(\tau_{L}\). 

 

Nuevamente, podemos obtener algunas conclusiones de la ecuación de arriba:

 

  • Para \(t=0\), tenemos que la corriente \(i\) es \(\frac{\mathscr{E}}{R}\).

  • Para \(t \rightarrow \infty\), tenemos que la corriente será cero. 

 

¿Y si tuviéramos más de un inductor en el circuito? ¿Que pasaría? Lo veremos a continuación!

 

Inductores en Serie

Vamos a analizar el siguiente circuito \(R L\):

 

Como los inductores están en serie, a través de las Leyes de Kirchhoff, podemos decir que:

 

\(i_{1}=i_{2}=i\)

 

Para sustituir los inductores por un inductor equivalente, es necesario que:

 

\(\mathscr{E}_{L}=\mathscr{E}_{L_{1}}+\mathscr{E}_{L_{2}}\)

 

Por lo tanto:

 

\(-L_{e q} \frac{d i}{d t}=-L_{1} \frac{d i_{1}}{d t}-L_{2} \frac{d i_{2}}{d t}\)

 

Ahora solo hay que arreglar el desastre:

 

\(-L_{e q} \frac{d i}{d t}=-L_{1} \frac{d i}{d t}-L_{2} \frac{d i}{d t}\)

 

\(L_{e q} \frac{d i}{d t}=L_{1} \frac{d i}{d t}+L_{2} \frac{d i}{d t}\)

 

Finalmente:

 

\(L_{e q}=L_{1}+L_{2}\)

 

De este modo, para \(n\) inductores asociados en serie:

 

\(L_{e q}=L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}\)

 

Inductores en Paralelo

Vamos a analizar el siguiente circuito:

 

Como los inductores están asociados en paralelo:

 

\(\mathscr{E}_{L}=\mathscr{E}_{L_{1}}=\mathscr{E}_{L_{2}}\)

 

Además de eso:

\(i=i_{1}+i_{2}\)

 

Derivando todos los términos en relación al tiempo, tendremos:

 

\(\frac{d i}{d t}=\frac{d i_{1}}{d t}+\frac{d i_{2}}{d t}\)

 

Donde: 

\(\mathscr{E}_{L}=-L \frac{d i}{d t}\)

 

\(\frac{d i}{d t}=-\frac{\mathscr{E}_{L}}{L}\)

 

Por tanto:

 

\(-\frac{\mathscr{E}_{L}}{L_{e q}}=-\frac{\mathscr{E}_{L_{1}}}{L_{1}}-\frac{\mathscr{E}_{L_{2}}}{L_{2}}\)

 

\(-\frac{\mathscr{E}_{L}}{L_{e q}}=-\frac{\mathscr{E}_{L}}{L_{1}}-\frac{\mathscr{E}_{L}}{L_{2}}\)

 

Finalmente:

 

\(\frac{1}{L_{e q}}=\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}\)

 

De esta manera, para \(n\) inductores asociados en paralelo:  

 

\(\frac{1}{L_{e q}}=\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}+\ldots+\frac{1}{L_{n}}\)

 

Eso es todo lo que necesitamos saber sobre circuitos RL!