Polinomio de Taylor de \(f(x)\)

En torno a cero

Imagina que tenemos la siguiente función:

\[f(x)=\sqrt{x+4}\]

Si decimos que \(x=0.1\), tendremos:

\[f(0.1)=\sqrt{4.1}\]

Genial, sabemos que la función en el punto \(x=0.1\) valdrá \(\sqrt{4.1}\), pero  ¿cuál es el valor de \(\sqrt{4.1}\)?

Realmente, \(\sqrt{4.1}\) no tiene un valor exacto. Sin embargo, podemos aproximarnos a su valor. ¿Cómo lo hacemos? Existen diversas maneras, pero una de las más utilizadas es el polinomio de Taylor. 

El polinomio de Taylor sirve para aproximar una función mediante un polinomio a un punto determinado.

Entonces, para aproximar \(\sqrt{4.1}\), al igual que en otras aproximaciones, escogemos un punto cerca de \(x=x_{0}\), de modo que \(f\left(x_{0}\right)\) esté cerca de \(\sqrt{4.1}\).

Escogeremos \(x=0\), porque:

\[f(0)=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}\]

Es un punto conocido y, además, está cerca del valor que queremos aproximar. La aproximación mediante el polinomio de Taylor de \(1^{er}\) orden será:

\[P_{1}(x)=f(0)+f^{\prime}(0) \cdot x\]

Entonces, calculamos:

\[f(x)=\sqrt{x+4} \Rightarrow f(0)=\sqrt{4}=2\]

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x+4}} \Longrightarrow f^{\prime}(0)=\frac{1}{2 \sqrt{4}}=\frac{1}{4}\]

Sustituyendo:

\[P_{1}(x)=2+\frac{1}{4} \cdot x\]

Para \(x=0.1\), que es el valor que nos dará \(\sqrt{4.1}\):

\[P_{1}(0.1)=2+\frac{1}{4} \cdot 0.1=2.025\]

Si usas tu calculadora, te dará como resultado: \(\sqrt{4.1} \cong 2.0248\). Por tanto, la aproximación es correcta, pero puede mejorar un poco más.

Un polinomio puede tener varios grados, el polinomio de Taylor no es la excepción. De \(2^{do}\) orden:

\[P_{2}(x)=f(0)+f^{\prime}(0) \cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} x^{2}\]

Entonces, calculamos:

\[f^{\prime \prime}\bigg(x\bigg)=-\frac{1}{4 \sqrt{(x+4)^{3}}} \Longrightarrow f^{\prime \prime}\bigg(0\bigg)=-\frac{1}{32}\]

Sustituyendo:

\[P_{2}(x)=2+\frac{1}{4} \cdot x-\frac{1}{64} x^{2}\]

En el punto \(x=0.1\):

\[P_{2}(0.1)=2.02484\]

Que está aún más próximo al valor deseado. Por tanto, cuanto mayor sea el orden del polinomio de Taylor, mejor será la aproximación.

Puedes pensar que, para el \(3^{er}\) orden, tendremos:

\[P_{3}(x)=f(0)+f^{\prime}(0) \cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} x^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3} x^{3}\]

¡Pero eso está mal! Lo correcto es:

\[P_{3}(x)=f(0)+f^{\prime}(0) \cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} x^{2}+\frac{f^{\prime \prime\prime}(0)}{3 !} x^{3}\]

Donde \(3 !=3 \cdot 2 \cdot 1=6\).

La presencia del factorial ocurre en el denominador de todos los términos. No estaba explícito para las aproximaciones de \(1^{er}\) y \(2^{do}\) orden, porque:

\[1 !=1 ; 2 !=2 \cdot 1=2\]

Básicamente, son el mismo número.

Entonces, vimos que para el \(1^{er}\) orden, el término de mayor grado será:

\[\frac{f^{\prime}(0)}{1 !} \cdot x\]

Para el \(2^{do}\) orden:

\[\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}\]

Y para el \(3^{er}\) orden:

\[\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3 !} x^{3}\]

Entonces, para un orden \(n\), el término de mayor grado será:

\[\frac{f^{n}(0)}{n !} x^{n}\]

Donde \(f^{n}(x)\) es la \(n\)-ésima derivada de \(f(x)\). Por tanto, el polinomio de Taylor de orden \(n\) en torno a cero será:

\[P_{n}(x)=f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1 !} \cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\ldots+\frac{f^{n}(0)}{n !} x^{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(0)}{k !} x^{k}\]

Para que podamos hacerlo, es necesario que la función \(f\) sea derivable hasta el orden \(n\).

No en torno a cero

¿Y si el punto no es cero? Por ejemplo \(x_{0}=1\). No te preocupes, el cambio es mínimo. Escribimos la fórmula general:

\[P_{n}(x)=f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1 !} \cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\ldots+\frac{f^{n}(0)}{n !} x^{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(0)}{k !} x^{k}\]

Como el punto es \(1\), tenemos que evaluar la función y sus derivadas en ese punto, es decir, vamos a cambiar a esta fórmula:

\[P_{n}(x)=f(1)+\frac{f^{\prime}(1)}{1 !} \cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(1)}{2 !} x^{2}+\ldots+\frac{f^{n}(1)}{n !} x^{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(1)}{k !} x^{k}\]

Por último, tenemos que desplazar \(x\), de la siguiente manera:

\[P_{n}(x)=f(1)+\frac{f^{\prime}(1)}{1 !} \cdot(x-1)+\frac{f^{\prime \prime}(1)}{2 !}(x-1)^{2}+\ldots+\frac{f^{n}(1)}{n !}(x-1)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{k}(1)}{k !} (x-1)^{k}\]

¡Eso es todo! La fórmula solo cambia un poco. ¡No olvides practicar en los ejercicios!