Error del Polinomio de Taylor de \(f(x)\)

Es importante entender que el polinomio de Taylor es una aproximación y, por defecto, tiene un margen de error. En esta ocasión aprenderemos a calcularlo. 

Realmente no podemos hallarlo, pero si hacer una estimación. 

Sin embargo, si pudiéramos hallar el error, simplemente lo sumaríamos al valor del polinomio de Taylor y hallaríamos su valor exacto.

Como sabemos, cuanto mayor sea el orden de aproximación del polinomio, mejor será el resultado, por tanto, es normal pensar que el orden es proporcional al margen de error. Es decir, si nos aproximamos por \(2^{do}\) orden, el error estará asociado al \(3^{er}\) orden, de forma que el error del polinomio de Taylor de \(n\) grado, en torno a \(x_{0}=a\) será:

\[\text {Error}=E(x)=\frac{f^{n+1}(c)\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{(n+1) !}\]

Donde \(c\) es un valor entre \(x_{0}\) y \(x\).

El error depende del valor de \(x-x_{0}\). Entonces, si escogemos un valor de \(x\)  lejos de \(x_{0}\) el error será inmenso.

Veamos un ejemplo:

Determine el error del polinomio de Taylor de \(2^{do}\) grado de la función \(f(x)=e^{x}\) en torno al punto \(x_{0}=1\).

Para ahorrar tiempo, vamos a sustituir los valores de las derivadas hasta la derivada de \(2^{do}\) grado, y hallaremos cada término del polinomio:

\[P_{2}(x)=f(1)+\frac{f^{\prime}(1)(x-1)^{1}}{1 !}+\frac{f^{\prime \prime}(1)(x-1)^{2}}{2 !}\]

Para el error tenemos que ir un término más allá, en este ejemplo queremos un polinomio de \(2^{do}\) grado. ¿Entonces para calcular el error tenemos que hallar la \(3^{era}\) derivada?

\[f^{\prime \prime \prime}(x)=e^{x}\]

Hallamos la derivada en un punto \(x=c\) con \(c\) entre \(0\) y \(x\).

\[f^{\prime \prime \prime}(c)=e^{c}\]

Después hallamos el término:

\[\frac{f^{\prime \prime \prime}(c)\left(x-x_{0}\right)^{3}}{3 !}=\frac{e^{c}(x-1)^{3}}{3 !}\]

Este será el error:

\[E(x)=\frac{e^{c}(x-1)^{3}}{3 !}\]

Pero eso no nos sirve de nada. Ten en cuenta que:

\[1<c<x\]

Como la derivada es una función creciente, tendremos:

\[f^{\prime \prime \prime}(1)<f^{\prime \prime \prime}(c)<f^{\prime \prime \prime}(x)\]

Eso nos dice que:

\[e<e^{c}<e^{x}\]

Entonces:

\[\frac{e(x-1)^{3}}{3 !}<\frac{e^{c}(x-1)^{3}}{3 !}<\frac{e^{x}(x-1)^{3}}{3 !}\]

\[\frac{e(x-1)^{3}}{3 !}<E(x)<\frac{e^{x}(x-1)^{3}}{3 !}\]

Es decir, podemos estimar el intervalo al que el error pertenece. En la sección de ejercicios lo veremos con más profundidad. 

Si queremos calcular el error en el punto \(x=2\), tenemos que:

\[\frac{e(2-1)^{3}}{3 !}<E(2)<\frac{e^{2}(2-1)^{3}}{3 !}\]

\[\frac{e}{3 !}<E(2)<\frac{e^{2}}{3 !}\]

Usando una calculadora para hallar los valores del límite, tendremos la siguiente estimación:

\[0,45305<E(2)<1,23151\]

De esta forma sabemos que el error está en ese intervalo. 

¡Vamos a practicar!