Aproximación de una Integral mediante Polinomios de Taylor

La Integral y el Polinomio de Taylor

 

El polinomio de Taylor nos permite calcular integrales usando polinomios. En esta ocasión aprenderemos cómo se hace.  

 

Para empezar, tenemos la siguiente integral:

 

\[\int_{0}^{0.2} e^{t^{2}+t} d t\]

 

Como puedes ver, es sumamente complicada, sin embargo, podemos llegar a su valor a través de una aproximación. 

 

Si decimos que el límite superior de la integral es \(x\), entonces tendremos una función de \(x\):

 

\[g(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}+t} d t\]

 

Siendo:

 

\[g(0.2)=\int_{0}^{0.2} e^{t^{2}+t} d t\]

 

Y, sabemos que, si la función es derivable hasta el orden que queremos aproximar, podemos aproximar la función mediante un polinomio de Taylor.

 

Vamos a comenzar calculando el polinomio de Taylor de \(g(x)\) de \(2^{do}\) orden y en torno a cero, que es un punto próximo a \(0.2\), que es el límite superior real de la integral. Tendremos que:

 

\[P(x)=g(0)+g^{\prime}(0)(x-0)+\frac{g^{\prime \prime}(0)}{2}(x-0)^{2}\]

 

Para calcularlo, debemos saber que:

 

\[g(0) ; g^{\prime}(0) \text{ y } g^{\prime \prime}(0)\]

 

\(g(0)\) es fácil: será la integral del cero al cero:

 

\[g(0)=\int_{0}^{0} e^{t^{2}+t} d t=0\]

 

Ya que la integral de un punto hasta el mismo punto siempre es cero.

 

El problema viene ahora. Necesitamos calcular \(g^{\prime}(0)\) y para ello \(g^{\prime}(x)\), que será:

 

\[g^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} e^{t^{2}+t} d t\]

 

¿Y ahora qué? Tenemos que recordar que el Teorema fundamental del Cálculo dice que:

 

\[\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(x) d x=\frac{d}{d x}[F(x)-F(a)]\]

 

Siendo \(F\) la primitiva de la función \(f\), es decir, la función cuya derivada es igual a \(f\).

 

Entonces tenemos que aplicar el TFC en el problema:

 

\[g^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} e^{t^{2}+t} d t=\frac{d}{d x}[F(x)-F(0)]=\frac{d F(x)}{d x}-\frac{d F(0)}{d x}\]

 

Como por definición la derivada de \(F\) será \(f\), entonces:

 

\[\frac{d F(x)}{d x}=f(x)=e^{x^{2}+x}\]

 

\(F(0)\) es una constante, entonces:

 

\[\frac{d F(0)}{d x}=0\]

 

Entonces:

 

\[g^{\prime}(x)=e^{x^{2}+x}\]

 

Por tanto:

 

\[g^{\prime}(0)=e^{0}=1\]

 

Por último, falta \(g^{\prime \prime}(0)\):

 

\[g^{\prime \prime}(x)=\left[g^{\prime}(x)\right]^{\prime}=\left(e^{x^{2}+x}\right)^{\prime}=(2 x+1) e^{x^{2}+x}\]

 

En el punto cero:

 

\[g^{\prime \prime}(0)=1 e^{0}=1\]

 

Solo tenemos que sustituir:

 

\[P(x)=g(0)+g^{\prime}(0)(x-0)+\frac{g^{\prime \prime}(0)}{2}(x-0)^{2} \Longrightarrow P(x)=0+x+\frac{1}{2} x^{2}\]

 

Para aproximar la integral, solo tenemos que sustituir \(x\) por su valor: el intervalo superior de la integral.

 

\[\int_{0}^{0.2} e^{t^{2}+t} d t \approx P(0.2)=0.2+\frac{1}{2}(0.2)^{2}=0.2+0.02=0.22\]

 

Recuerda que el resultado es una aproximación y si queremos una mejor aproximación debemos aumentar el orden del polinomio. El error de la aproximación siempre estará asociado a los órdenes superiores, siendo:

 

\[E(x)=\frac{f^{n+1}(c)\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{(n+1) !}\]

 

\(n\) el orden de la aproximación, y:

 

\[x_{0}<c<x\]

 

En este caso, dado que cero es el punto central del polinomio y \(0.2\) es el punto escogido para aproximar:

 

\[0<c<0.2\]

 

Para el \(2^{do}\) orden que aproximamos:

 

\[E(0.2)=\frac{g^{3}(c)(0.2)^{3}}{3 \cdot 2}\]

 

Para el \(3^{er}\) orden:

 

\[g^{\prime \prime \prime}(x)=\left[g^{\prime \prime}(x)\right]^{\prime}=\left[(2 x+1) e^{x^{2}+x}\right]^{\prime}=2 e^{x^{2}+x}+(2 x+1)^{2} e^{x^{2}+x}\]

 

\[g^{\prime \prime \prime}(c)=2 e^{c^{2}+c}+(2 c+1)^{2} e^{c^{2}+c}\]

 

Como puedes ver, \(g^{\prime \prime \prime}(c)\) es creciente, entonces el mayor valor posible para el error es el mayor valor posible de \(g^{\prime \prime \prime}(0.2)\). Sustituyendo ese valor en la expresión anterior:

 

\[g^{\prime \prime \prime}(0.2)=5.03415\]

 

Entonces:

 

\[E(0.2) \leq \frac{5.03415 \cdot 0.04}{6}=0.033561\]

 

El error siempre es estimado y basado en el mayor valor posible de \(f^{n+1}(c)\) dentro de los valores posibles de \(c\). Tiene sentido, porque si pudiéramos calcular el valor exacto del error, simplemente tendríamos que sumarlo al valor real y obtendríamos el resultado exacto. 

 

Si tienes alguna duda sobre lo explicado hasta ahora, échale un vistazo a los temas anteriores.

 

Caso general

 

En general, para aproximar una integral mediante un polinomio de Taylor, debes seguir el siguiente procedimiento:

 

Si \(g\) es derivable hasta \(n\) orden y:

 

\[g(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t\]

 

Entonces, la aproximación a través del polinomio de Taylor de \(g(x)\) en torno a \(x_{0}\) será:

 

\[P(x)=g\left(x_{0}\right)+\frac{g^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\frac{g^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots+\frac{g^{n}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}\]

 

Aproximando el integrando

 

En ocasiones, es más fácil aproximar el integrando a través del polinomio de Taylor y sustituirlo en la integral. ¡Veamos cómo se hace!

 

Imagina la siguiente integral:

 

\[\int_{0}^{1} e^{x^{8}} d x\]

 

Si usamos el TFC y la aproximamos por Taylor, todas las derivadas serán grandes y difíciles de calcular. Entonces, podemos considerar que:

 

\[f(x)=e^{x^{8}}\]

 

Y, para resolver el problema con la derivada:

 

\[u=x^{8} \Longrightarrow f(u)=e^{u}\]

 

Lo cual no podríamos hacer en la integral, porque necesitaríamos convertir \(dx\) en \(\text {u’du}=8x^{7}du\)

 

Entonces, aproximamos todo con \(u\). Como la integral tiene intervalo entre \(0\) y \(1\), podemos escoger \(u_{0}=0\). Vamos a usar el \(3^{er}\) orden para tener una buena noción:

 

\[P(u)=f(0)+f^{\prime}(0) u+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} u^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3 !} u^{3}\]

 

Necesitamos hallar los valores:

 

\[f(0)=e^{0}=1\]

 

\[f^{\prime}(u)=e^{u} \Longrightarrow f^{\prime}(0)=1\]

 

\[f^{\prime\prime}(u)=e^{u} \Longrightarrow f^{\prime \prime}(0)=1\]

 

\[f^{\prime \prime \prime}(u)=e^{u}\Longrightarrow f^{\prime \prime \prime}(0)=1\]

 

Sustituyendo:

 

\[P(u)=1+u+\frac{1}{2} u^{2}+\frac{1}{6} u^{3}\]

 

Volvemos a \(x\), para no tener que tocar la integral:

 

\[P(x)=1+x^{8}+\frac{1}{2} x^{16}+\frac{1}{6} x^{24}\]

 

Sustituimos en la integral:

 

\[\int_{0}^{1} e^{x^{8}} d x \approx \int_{0}^{1}\left(1+x^{8}+\frac{1}{2} x^{16}+\frac{1}{6} x^{24}\right) d x\]

 

Resolviendo (de la misma forma que un polinomio):

 

\[\int_{0}^{1} e^{x^{8}} d x=\left\lfloor x+\frac{x^{9}}{9}+\frac{x^{17}}{34}+\frac{x^{25}}{150}\right\rfloor_{0}^{1}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{34}+\frac{1}{150}=1.14719\]

 

¡Eso es! ¿Y el error? También se integra. Para el \(3^{er}\) orden:

 

\[E(u)=\frac{\frac{d^{n+1} e^{c}}{d u^{n+1}} u^{n+1}}{(n+1) !}=\frac{e^{c} u^{4}}{24}\]

 

Volviendo a \(x\), para no tocar la integral:

 

\[E(u) \leq \frac{e^{c} u^{4}}{24} \Longrightarrow E(x)=\frac{e^{c} x^{32}}{24}\]

 

Siendo:

 

\[0<c<1\]

 

Ya que \(x=0\) y la distancia máxima que alcanzamos con \(x\) fue \(x=1\), en el límite superior de la integral. 

 

Como queremos garantizar que el error sea el menor posible, debemos escoger el mayor valor posible. Como el exponencial es creciente para \(c>0\), escogemos el límite superior de \(c\), \(c=1\).

 

\[E(x) \leq \frac{e^{1} x^{32}}{24}\]

 

El error en la integral será la integral de \(E(x)\):

 

\[E_{\text {integral }} \leq \int_{0}^{1} \frac{e^{1} x^{32}}{24} d x=\frac{e}{24} \int_{0}^{1} x^{32} d x=\left[\frac{e}{792} x^{33}\right]_{0}^{1}=0,003432174\]

 

El error fue mínimo.

 

¡Eso es todo, vamos a los ejercicios!