Polinomio de Taylor de \(f(x,y)\)

En ocasiones, calcular el valor exacto de una función puede ser complicado, por tanto, muchas veces su aproximación es más que suficiente. La aproximación es hecha a través del polinomio de Taylor, que es la aproximación de un polinomio en torno a un punto. 

Hasta el momento, sólo hemos visto la aproximación de Taylor para funciones de una variable, como:

\[f(x)=\operatorname{sen} x\]

En esta ocasión veremos cómo aproximar mediante Taylor, funciones polinómicas de dos variables, como esta:

\[f(x, y)=\operatorname{sen}(x+y)\]

Por cierto, cabe destacar que el polinomio de Taylor puede ser calculado para distintos grados. Debes calcularlo en función del grado que te pide el problema o el error máximo permitido.

Como se calcula: Una variable

Sabemos que, si la función es derivable hasta el orden deseado, llamado \(n\), entonces la aproximación mediante Taylor en torno a un punto \(x_{0}\) será

\[P(x)=f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots+\frac{f^{n}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}\]

\(x_{0}\) será un punto dado en el enunciado o tendrás que escoger de manera que su valor para la función y sus derivadas sea fácil de determinar. Si tienes alguna duda sobre esta parte, te recomiendo mirar los tipos de polinomio de Taylor de una variable. 

Cómo se calcula: Dos variables

Para calcular el polinomio de Taylor para funciones de dos variables, en torno a un punto, debemos seguir los siguiente pasos.

Veamos un ejemplo para entenderlo mejor.

Determine el polinomio de Taylor de \(2^{do}\) grado de la función \(f(x, y)=e^{x+y}\) en torno a \(\vec{p}=(0,0)\).

Como queremos un polinomio de \(2^{do}\) grado, lo primero que debemos hacer es hallar las derivadas hasta el \(2^{do}\) orden de \(f(x,y)\).

Como tenemos una función de dos variables, tenemos que hallar:

\[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\]

Ten en cuenta que no basta con ir solamente de \(f_{xx}\) a \(f_{yy}\), tenemos que considerar todas las permutaciones y, consecuentemente \(f_{xy}\) y \(f_{yx}\). Sabiendo esto, tendremos:

\[\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x+y}\]

\[\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+y}\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{x+y}\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=e^{x+y}\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=e^{x+y}\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=e^{x+y}\]

Todo es igual, porque es exponencial. 

Posteriormente tenemos que hallar la función \(f(x,y)\) y las derivadas del punto \(\vec{p}=(0,0)\):

\[f(0,0)=e^{0+0}=e^{0}=1\]

\[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=e^{0+0}=e^{0}=1\]

\[\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=e^{0+0}=e^{0}=1\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,0)=e^{0+0}=e^{0}=1\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)=e^{0+0}=e^{0}=1\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0)=e^{0+0}=e^{0}=1\]

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0)=e^{0+0}=e^{0}=1\]

Ya hallamos cada término del polinomio, el primer término es el de la propia función. El resto de términos serán similares a los de funciones de una variables, con una leve diferencia. Si tenemos la derivada con respecto a \(x\), el término será:

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial x^{n}}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n !}\]

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\), el término será:

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{n}}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{n}}{n !}\]

Si tenemos la derivada con respecto a \(x\) y \(y\), el término será:

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{m} \partial x^{p}}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{m}\left(x-x_{0}\right)^{p}}{n !}\]

Donde \(m+p=n\).

Recordando que en todos esos términos, \(x_{0}\) y \(y_{0}\) son valor de \(x\) y \(y\), respectivamente, en torno al punto del polinomio.

En el ejemplo, los términos serán:

\[f(0,0)=1\]

\[\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)}{1 !}=1 . x=x\]

\[\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)}{1 !}=1 . y=y\]

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,0)(y-0)^{2}}{2 !}=1 . \frac{y^{2}}{2}=\frac{y^{2}}{2}\]

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0)(x-0)^{2}}{2 !}=1 . \frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}\]

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0)(x-0)(y-0)}{2 !}=1 . \frac{x y}{2}=\frac{x y}{2}\]

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0)(y-0)(x-0)}{2 !}=1 . \frac{y x}{2}=\frac{x y}{2}\]

Juntando todo, tendremos:

\[P_{2}(x, y)=1+x+y+\frac{y^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x y}{2}+\frac{x y}{2}=1+x+y+\frac{y^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+x y\]

El polinomio nos dará los valores de la función para los valores de \((x,y)\) cerca de \((0,0)\). En resumen, los pasos para hallar el polinomio son:

Si queremos el polinomio de Taylor de la función \(f(x, y)\) de grado \(n\) en torno al punto \((x, y)=\left(x_{0}, y_{0}\right)\).

Paso 1: Hallar las derivadas hasta la derivada \(n\).

Paso 2: Hallar los valores de la función y las derivadas hasta la derivada \(n\) en el punto \((x,y)=(x_{0},y_{0}\)\).

Paso 3: Hallar cada término del polinomio. 

Si tenemos la derivada con respecto a \(x\), el término será:

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{n}}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n !}\]

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\), el término será:

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{n}}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{n}}{n !}\]

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\) y \(x\), el término será:

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{m} \partial x^{\rho}}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{m}\left(x-x_{0}\right)^{p}}{n !}\]

Paso 4: Sumar todos los términos.

¡Vamos a los ejercicios!