Polinomio de Taylor de \(f(x, y, z)\)

Ya sabemos que el polinomio de Taylor es un polinomio que aproxima cualquier función cerca de un punto. Es decir, es la aproximación de una función complicada, mediante polinomios. 

 

Sabemos que el polinomio puede tener varios grados: puede ser de \(1^{er}\) grado \((x)\), \(2^{do}\) grado \((x^{2})\), \(3^{er}\) grado \((x^{3}) \ldots\) hasta \(n\) grado. Por tanto, es de esperar que cuanto mayor sea el grado del polinomio de Taylor, mejor estará aproximando la función real. Usualmente el problema te dirá hasta qué grado calcular.  

 

En esta ocasión aprenderemos a calcular el polinomio de Taylor para funciones de \(3\) variables. 

 

Para funciones de una variable teniamos que el polinomio de Taylor en torno al punto \(x_{0}\) era:

 

\[P(x)=f\left(x_{0}\right)+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1 !}\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots+\frac{f^{n}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}\]

 

Para funciones de dos variables, la función tiene dos derivadas parciales y dos derivadas parciales mixtas. Por tanto, su expresión es un poco más extensa. 

 

Para funciones de tres variables, tendremos tres derivadas parciales y seis derivadas parciales mixtas, de modo que la expresión del polinomio de Taylor en torno al punto \(\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) será más larga.

 

Veamos un ejemplo:

 

Determine el polinomio de Taylor de \(2^{do}\) grado de la función \(f(x,y,z)=e^{x+y+z}\) en torno al punto \(\vec{p}=(0,0,0)\).

 

Como queremos un polinomio \(2^{do}\) grado, lo primero que debemos hacer es hallar las derivadas hasta el \(2^{do}\) orden de \(f(x,y,z)\).

 

Como tenemos una función de tres variables, tenemos que hallar:

 

\[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x}, \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y}\]

 

Ten en cuenta que no basta con ir solamente de \(f_{xx}\), \(f_{yy}\), hasta \(f_{zz}\), tenemos que considerar todas las permutaciones y, en consecuencia \(f_{x y}, f_{x z}, f_{y x}, f_{y z}, f_{z x}\) e \(f_{z y}\), 

 

Las derivadas parciales mixtas serán iguales, pero es recomendable calcularlas todas para así no olvidar colocar ninguna en la expresión del polinomio de Taylor.

 

Dicho esto, tendremos:

 

 \[\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial f}{\partial z}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z}=e^{x+y+z}\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y}=e^{x+y+z}\]

 

Escogí la función exponencial deliberadamente para que todo fuera igual. 

 

Posteriormente debemos hallar la función \(f(x,y,z)\) y las derivadas según el punto en que se encuentre el polinomio, en este caso, \(\vec{p}=(0,0,0)\):

 

\[f(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,0)=e^{0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial f}{\partial y}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

\[\frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y}(0,0,0)=e^{0+0+0}=e^{0}=1\]

 

Ya tenemos todos los términos del polinomio. Vamos a organizarlos.

 

El primer término es el de la propia función. El resto de términos serán parecidos a los de funciones de una variable, con una leve diferencia.

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(x\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial x^{n}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{n}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{n}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(z\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial z^{n}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{n}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\) y \(x\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{m} \partial x^{p}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{m}\left(x-x_{0}\right)^{p}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\) y \(z\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{m} \partial z^{p}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{m}\left(z-z_{0}\right)^{p}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(x\) y \(z\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial x^{m} \partial z^{p}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{m}\left(z-z_{0}\right)^{p}}{n !}\]

 

Donde \(m+p=n\).

 

Recordando que en las derivadas parciales mixtas, siempre tendremos dos términos para cada par de variables: para \(x\) y \(y\) tendremos \(f_{xy}\) y \(f_{yx}\), para \(x\) y \(z\) tendremos \(f_{xz}\) y \(f_{zx}\) y para \(y\) y \(z\) tendremos \(f_{yz}\) y \(f_{zy}\).

 

Recordando que en todos esos términos, \(x_{0}\), \(y_{0}\) y \(z_{0}\) son los valores de \(x\), \(y\) y \(z\), respectivamente, en torno al polinomio.

 

En el ejemplo, los términos serán:

 

\[f(0,0,0)=1\]

 

\[\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,0)(x-0)}{1 !}=1 . x=x\]

 

\[\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,0,0)(y-0)}{1 !}=1 . y=y\]

 

\[\frac{\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,0)(z-0)}{1 !}=1 . z=z\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,0,0)(y-0)^{2}}{2 !}=1 . \frac{y^{2}}{2}=\frac{y^{2}}{2}\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,0,0)(x-0)^{2}}{2 !}=1 . \frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}(0,0,0)(z-0)^{2}}{2 !}=1 . \frac{z^{2}}{2}=\frac{z^{2}}{2}\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0,0)(x-0)(y-0)}{2 !}=1 . \frac{x y}{2}=\frac{x y}{2}\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0,0)(y-0)(x-0)}{2 !}=1 . \frac{y x}{2}=\frac{x y}{2}\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z}(0,0,0)(y-0)(z-0)}{2 !}=1 . \frac{y z}{2}=\frac{y z}{2}\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y}(0,0,0)(z-0)(y-0)}{2 !}=1 . \frac{z y}{2}=\frac{y z}{2}\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z}(0,0,0)(x-0)(z-0)}{2 !}=1 . \frac{x z}{2}=\frac{x z}{2}\]

 

\[\frac{\frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x}(0,0,0)(z-0)(x-0)}{2 !}=1 . \frac{z x}{2}=\frac{x z}{2}\]

 

Juntando todo, tendremos:

 

\[P_{2}(x, y, z)=1+x+y+z+\frac{y^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{2}+\frac{x y}{2}+\frac{x y}{2}+\frac{y z}{2}+\frac{y z}{2}+\frac{x z}{2}+\frac{x z}{2}\]

 

\[P_{2}(x, y, z)=1+x+y+z+\frac{y^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{2}+x y+y z+x z\]

 

Ese polinomio nos dará los valores de la función para los valores de \((x,y,z)\) cerca de \((0,0,0)\). En resumen, los pasos para hallar el polinomio son:

 

Si queremos el polinomio de Taylor de la función \(f(x,y,z)\) de grado \(n\) en torno al punto \((x,y,z)=(x_{0}, y_{0}, z_{0})\).

 

Paso 1: Hallar las derivadas hasta la derivada \(n\).

 

Paso 2: Hallar los valores de la función y de las derivadas hasta la derivada \(n\) en el punto \((x,y,z)=(x_{0}, y_{0}, z_{0})\).

 

Paso 3: Hallar cada término del polinomio, recordando que el primer término es el valor de la propia función en el punto \(f(x_{0}, y_{0}, z_{0})\). Y los siguientes términos son:

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(x\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial x^{n}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{n}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{n}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(z\) el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial z^{n}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)^{n}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\) y \(x\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{m} \partial x^{p}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{m}\left(x-x_{0}\right)^{p}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(y\) y \(z\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial y^{m} \partial z^{p}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)^{m}\left(z-z_{0}\right)^{p}}{n !}\]

 

Si tenemos la derivada con respecto a \(x\) y \(z\), el término será:

 

\[\frac{\frac{\partial^{n} f}{\partial x^{m} \partial z^{p}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{m}\left(z-z_{0}\right)^{p}}{n !}\]

 

Paso 4: Sumar todos los términos.

 

¡Eso es todo, vamos a los ejercicios!