Introducción a la serie de potencias
Introducción
¡Bienvenidos, espero que todos estén bien! En esta ocasión estudiaremos las series de potencias. Estas son esenciales para representar funciones complicadas (que involucren seno, tangente, etc…) como simples potencias.
Estas series provienen de la unión de dos mundos: los polinomios (o potencias) y las series. Entonces, hagamos un breve repaso por ambos temas para luego ir a lo que nos interesa.
Polinomios (o potencias):
Los polinomios son funciones de variable \(x\) en forma de potencia. Este es un polinomio de segundo grado:
\[P(x)=3 x^{2}+4 x+2\]
\(x\) es la variable de la función (en este caso llamado polinomio \(P\)). \(3\), \(4\) y \(2\) son constantes presentes en todo el polinomio y son los coeficientes.
Veamos dos ejemplos de polinomios de tercer grado:
\[Q(x)=10 x^{3}-2 x^{2}+5 x-4 \quad y \quad R(x)=7 x^{3}\]
Ambos son de tercer grado, pero la diferencia es que mientras en el primero los coeficientes son \(10\), \(-2\), \(5\), y \(4\), en el segundo es como si tuviéramos:
\[R(x)=7 x^{3}+0 \cdot x^{2}+0 \cdot x+0\]
Entonces los coeficientes son \(7,0,0,0\).
Series
De forma breve, son sumas. Si quisieras sumar, por ejemplo los números pares que están entre \(1\) y \(10\):
\[2+4+6+8=\sum_{n=1}^{4} 2 n\]
Este símbolo \(\left(\sum\right)\) se llama sumatorio. \(n=1\) representa el primer término, y \(4\) representa el último término \((n=4)\).
Pero algunas series no tendrán un último término, sino que van al infinito. Cuando esto ocurre se dice que son series infinitas, y esas son las series con las que vamos a trabajar. Son así (mira el símbolo de infinito encima del sumatorio):
\[\sum_{n=1}^{\infty} 2 n\]
En este caso, \(2n\) es el término general de la serie.
Series de potencia
¡Vamos a hablar sobre la serie de potencias! Que no es más que un polinomio (o una potencia) escrito condensadamente en un sumatorio:
\[c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}\]
Solo que es un polinomio que “va al infinito” ¿ves? \(x\) continúa siendo la variable, mientras que \(c_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3},\ldots\) son los coeficientes del polinomio, o… de la serie.
Si quisiéramos representar la \(P(x)\) del primer ejemplo en forma de serie de potencia, ahora podemos:
\[P(x)=3 x^{2}+4 x+2=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}\]
Donde los coeficientes son: \(c_{0}=2, c_{1}=4\) y \(c_{2}=3\). Todos los otros \(c_{n}\) son ceros. Finalmente \(P(x)\) acaba en \(n=2\).
En este caso de ejemplo, la serie era una serie finita, porque el polinomio tiene fin (todos los \(c_{n}\) después de \(n=2\) son cero). Pero los casos en los cuales trabajaremos de ahora en adelante serán series infinitas, es decir, no todos los coeficientes serán cero. Después de todo, cuando conoces los \(c_{n}\) (coeficientes) conoces la serie de potencia.
Para empezar a practicar, veamos quienes son los coeficientes de la siguiente serie:
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{n}+\ldots\]
Si decimos que todos son iguales a \(1\)…
\[c_{n}=1, \text { para todo } n\]
Entonces:
\[\sum_{n=1}^{\infty} 2 n x^{n}\]
Como \(c_{n}=2 n\), es decir: \(c_{0}=0, c_{1}=2, c_{2}=4 \ldots\)
Convergencia y divergencia de la serie de potencias
Déjame recordarte algo: ¿recuerdas que las series infinitas pueden converger para un valor, o divergir? Entonces, cuando el valor de la serie va al infinito, se dice que la serie es divergente.
Por tanto, en este caso no será muy diferente, y también existirá esa preocupación. Sin embargo, en una serie normal, por ejemplo:
\[\sum_{n=1}^{\infty} 2 n\]
Podríamos decir que la serie diverge porque \(2 n\) va al infinito (test de la divergencia). Mientras que en una serie de potencias:
\[\sum_{n=1}^{\infty} 2 n x^{n}\]
Como la respuesta depende de cuál es la incognita \(x\), por eso se habla de intervalo y radio de convergencia:
\(\bullet\) El intervalo es la información de cuáles valores de \(x\) dentro de un conjunto hacen que la serie converja.
\(\bullet\) El radio es el resultado del sumatorio del conjunto contenido en el intervalo.
No te preocupes si no lo entiendes, porque lo veremos más adelante.
Serie geométrica
Llegó el momento de hablar sobre la serie geométrica. Ya la conoces, es esta de aquí:
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{n}+\ldots\]
Es importantísimo que sepas que esa serie converge cuando \(x\) está entre \(-1\) y \(1\), y diverge para cualquier otro valor. Otra forma decirlo es que la serie converge para \(x \in]-1,1[\), o \(|x|<1\). En este caso, el intervalo de convergencia, es el intervalo de \(-1\) a \(1\):
\[\text {Intervalo de convergencia} \rightarrow x \in]-1,1[\]
Y el radio (el resultado del sumatorio) es igual a \(1\). Recordando que la serie geométrica converge para \(1\) cuando es \(|x|<1\). Además, se puede comprobar, que la serie geométrica converge para:
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}\]
Claro, si \(x\) estuviera en el intervalo de convergencia.
OBS: en este caso \(x\) es conocido como RAZÓN de la serie geométrica.
Representación de funciones por series de potencia
Quizá te estés preguntando “¿para qué sirve este tipo de serie, con variable?”. Vamos a responder esta pregunta aquí.
Ya sabes que sirven para representar funciones. Entonces, imagina quiero representar la función:
\[f(x)=\frac{2}{1-x}\]
En forma de potencia. ¿Cómo podemos hacerlo? Bien, sabemos que:
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}\]
Entonces, multiplicando ambos lados por \(2\), tenemos:
\[f(x)=\frac{2}{1-x}=2 \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\]
\[\sum_{n=0}^{\infty} 2 x^{n}\]
El polinomio que representa la función \(f\) es:
\[f(x)=2+2 x+2 x^{2}+\ldots\]
¡Claro! Como la serie geométrica solo funciona para \(x\) entre \(-1\) y \(1\), esta representación sólo será útil para dicho intervalo (finalmente usamos la serie geométrica para esa representación).
Ahora intenta representar esta función:
\[f(x)=\frac{1}{2+x}\]
Si no pudiste, no pasa nada, veamos los pasos para hacerlo:
Paso 1: si lo ves, esta función tiene cierta semejanza con la suma de la serie geométrica. Entonces, vamos a intentar escribirla de esa forma (siempre busca ese parecido):
\[\frac{1}{2+x}=\]
Poniendo al \(2\) en evidencia \((2+x)=2\left(1+\frac{x}{2}\right) \ldots\)
\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-(-x / 2)}\]
Paso 2: comparando esta expresión con la función
\[\frac{1}{1-x}\]
Vemos que la nueva razón es \(-x / 2\). Entonces, en lugar de \(\sum x^{n}\), tenemos:
\[\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}\]
Pero, no podemos olvidarnos del término \(1 / 2\) en evidencia. Entonces, tenemos
\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-(-x / 2)}=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}\]
Es decir, la representación de la función en es…
\[f(x)=\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}\]
Ahora, una cosa muy importante es decir cuál es el radio de \(x\) donde esa representación funciona. Bien, sabemos que para la serie:
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x} \quad \rightarrow \text {converge para} \space \space |x|<1\]
Entonces…
\[\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}=\frac{1}{2+x} \quad \rightarrow \space \text {converge para } \left|-\frac{x}{2}\right|<1 \rightarrow\]
Como el módulo elimina el signo negativo
\[\left|x\right|<2\]
Y esa es la representación de la función en serie de potencias.
La forma general de la serie de potencias
Dijimos que la serie geométrica se escribe así:
\[\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}\]
Pero en realidad, omitimos un detalle. La forma más común de la serie es:
\[\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}\]
No te preocupes por esa \(a\), este es un número que se refiere al punto donde la serie está centralizada, es decir, decimos que la serie está centrada en \(a\). Para encontrar esta serie basta con sustituir \(x\), por \((x-a)\) en el polinomio, entonces tendremos:
\[\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3} \ldots\]
En el caso de:
\[\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}\]
Estamos hablando de una serie centrada en el origen.
Y aquí termina la introducción a las series de potencia. A continuación, tenemos un examen sobre convergencia de la serie geométrica, para que de esta forma puedas practicar para tus exámenes en la universidad.
Examen sobre la convergencia de la serie geométrica
Sea \(s_{n}\) la suma de los \(n\) primeros términos de la serie, entonces
\[s_{n}=1+x+x^{2}+\ldots+x^{n-1}\]
Como queremos el valor de la serie, vamos a utilizar un truco para encontrar \(s_{n}\). El truco es multiplicar \(s_{n}\) por \(x\):
\[s_{n} x=x+x^{2}+\ldots+x^{n-1}+x^{n}\]
Hagamos \(s_{n}-s_{n} x\), y veamos el resultado:
\[s_{n}-s_{n} x=1+x+x^{2}+\ldots+x^{n-1}-\left(x+x^{2}+\ldots+x^{n-1}+x^{n}\right)\]
\[s_{n}-s_{n} x=1-x^{n}\]
\[s_{n}(1-x)=\left(1-x^{n}\right)\]
\[s_{n}=\frac{\left(1-x^{n}\right)}{1-x}\]
Como la serie es infinita, debemos evaluar el comportamiento para \(n \rightarrow \infty\).
Cuando \(|x|<1, x^{n} \rightarrow 0\), cuando \(n \rightarrow \infty\). Por tanto, la serie queda así:
\[|x|<1 \rightarrow s_{n} \rightarrow \frac{1}{1-x}\]
Entonces,
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}\]
Y para \(|x|>1, x^{n} \rightarrow \infty\), cuando \(n \rightarrow \infty\). Por tanto, la serie diverge.
Hay un error?
Ir al Siguiente Capitulo: Radio e Intervalo de convergencia
Todos los Resúmenes
