Radio e Intervalo de convergencia

Radio e intervalo de convergencia

Recuerda que teníamos una serie geométrica como esta:

\[\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}\]

Donde el coeficiente \(a\) indica que la serie está centrada en \(a\).

Ahora vamos a suponer que la serie sólo va a converger cuando los valores de \(x\) estén entre \(1\) y \(-1\). Como en la siguiente figura,

Es decir, el intervalo donde \(|x|<1\), representado en la imagen, es el intervalo de convergencia.

¿Y cuál sería el radio de convergencia? En este caso, el radio de convergencia sería \(1\), porque la serie converge entre \((-1,1)\). Podemos definirlo como la distancia entre el centro de la serie hasta un límite del intervalo de convergencia.

Para la convergencia de una serie de potencias genérica, tendremos tres posibilidades:

   \(\bullet\) La serie converge sólo para \(x=a\).

   \(\bullet\) La serie converge para todo \(x \in \mathbb{R}\)

   \(\bullet\) Existe un número real \(R\) tal que la serie converge para \(|x-a|<R\) y diverge en caso contrario (aquí \(R\) sería el radio de convergencia). 

¿Y cómo descubrimos cuál es el intervalo y el radio de convergencia? Bien, para entender mejor los conceptos veamos algunos ejemplos. Pero antes, sería bueno repasar algunos test/criterios de convergencia para así poder encontrar el radio y el intervalo.

Criterio del cociente y de la raíz para series de potencia

Ambos criterios continúan siendo los mismos para este tipo de series, solo que veremos una forma distinta de aplicarlos, que simplifica mucho el proceso de hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie. 

Para que no tengas que analizar \(x\) (además de \(n\)) cuando calculas \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\), por ejemplo, vamos a dejar esa variable de lado. “¿A qué te refieres?”

Criterio del cociente

Dada una serie de potencia general:

\[\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}\]

El criterio del cociente nos dice que la serie converge cuando,

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|<1\]

Entonces, si \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=L\), su radio de convergencia es \(R=1 / L\).

¡Vamos aplicarlo en un ejemplo! ¿Cuál es el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias?

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n !}\]

Paso 1: esa serie, como podemos ver, está centrada en \(a=1\). Vamos a utilizar el criterio del cociente para estudiar su convergencia.

\[a_{n}=\frac{(x-1)^{n}}{n !}\]

\[a_{n+1}=\frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1) !}\]

Paso 2: como la serie no es necesariamente de términos positívos, vamos a aplicar el módulo:

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1) !} \times \frac{n !}{(x-1)^{n}}\right|=\]

\[=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(x-1)}{(n+1)}\right|=0 \text{ para } x \in \mathbb{R}\]

Paso 3: hallar el intervalo y radio de convergencia

\[R=1 / L\]

Pero hallamos que \(L=0\). Por tanto, el intervalo de convergencia de esa serie es \(\mathbb{R},\) o \((-\infty,+\infty)\).

Criterio de la raíz

Al igual que el criterio del cociente, podemos aplicar el criterio de la raíz de una manera distinta para las series de potencias. 

Dada una serie de potencias:

\[\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}\]

El criterio de la raíz nos dice que la serie converge cuando,

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|c_{n}\right|}<1\]

Entonces, tenemos que si \(\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|c_{n}\right|}=L\), su radio de convergencia es \(R=1 / L\). 

¡Apliquemoslo en un ejemplo! ¿Cuál es el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias?:

\[\sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}\]

Paso 1: aplicar el criterio de la raíz

\[\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|(x-3)^{n}\right|}=|x-3|\]

Paso 2: esta serie es muy parecida a la serie geométrica, por tanto, al comparar tenemos que esta serie converge cuando el valor elevado a \(n\) es menor que \(1\), es decir, \(|x-3|<1\). Eso nos da:

\[-1<x-3<1\]

\[2<x<4\]

Entonces, sabemos que en \((2,4)\) la serie converge; ese es su intervalo de convergencia. 

Paso 3: hallar el intervalo y radio de convergencia

Observa que el centro de la serie es \(a=3\) y que su distancia hasta los dos bordes del intervalo \((2,4)\) es la misma \((1)\), o sea, radio \(R=1\)

Por último, faltan ver los extremos del intervalo. Queremos saber si \(2\) y \(4\) están incluidos en el intervalo de convergencia. Siempre que apliquemos alguno de esos dos criterios tenemos que ver cuando \(x\) es igual a cada uno de los límites en el intervalo. 

Si \(x=2\), la serie será:

\[\sum_{n=0}^{\infty}(2-3)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\]

Es decir, para \(x=2\) la serie es divergente.

Ahora con \(x=4\)

\[\sum_{n=0}^{\infty}(4-3)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} 1^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} 1\]

O sea, tenemos que la serie diverge para el otro lado también.

Entonces, en este ejemplo, no vamos a incluir los extremos del intervalo. El intervalo de convergencia será

\((2,4)\)

¡Atención! Recuerda que el criterio del cociente, así como el de la raíz, no afirma nada cuando el límite es exactamente igual a \(1\), es decir, cuando \(|x - a|=1 / L=R\). Por tal motivo, no podemos afirmar nada sobre los extremos del intervalo de convergencia sin estudiarlos caso a caso. 

Y eso es todo. ¡Vamos a los ejercicios!