Derivación e Integración de serie de potencias

Introducción

¡Bienvenidos, espero que estén bien! ¿Recuerdas que uno de los usos de la serie de potencias es representar funciones? Exactamente, podemos escribir funciones con series de potencias comparándola con la serie geométrica. 

Veamos un ejemplo. Recuerda que podemos describir una serie geométrica con la siguiente suma,

\[\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r},\text { para todo }|r|<1\]

Entonces, cuando tenemos la siguiente función

\[f(x)=\frac{1}{1-x}\]

Podemos interpretar esa función como la serie de potencias. Y esta es así:

\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x},\text { para todo }|x|<1\]

En este caso, podemos ver la semejanza y hacerlo directo, pero no siempre será así. ¡Así que prepárate!

Escribe la siguiente función en serie de potencias

\[f(x)=\ln (1+x)\]

No es una comparación que se encuentre fácilmente. Y sobre eso hablaremos a continuación

Derivación e integración de series

Cuando la función no se asemeja a una serie geométrica, lo que podemos hacer es “manipular” las funciones (derivando e integrando)  para que se parezcan a una.

Entonces, vamos a resolver el desafío siguiendo estos pasos. Veamos nuevamente la función:

\[f(x)=\ln (1+x)\]

Paso 1: esa función no se parece en nada a la suma de la serie geométrica. Entonces, hagamos lo siguiente \(f(x)\)

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}\]

Esa función derivada se parece mucho a \(\frac{1}{1 x}\), que vimos al inicio del tema. 

Paso 2: entonces, vamos a escribir la función derivada como una serie de potencias. Tranquilo, vas a entender el porqué.

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}\]

Como la razón es \((-x)\), tenemos:

\[f^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n},\text { para todo }|x|<1\]

Paso 3: pero lo que queremos es la representación de \(f(x)\), no la de su derivada. Observa que, integrando ambos lados de la igualdad anterior, tenemos:

\[\int f^{\prime}(x) d x=\int \sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{n} d x\]

\[f(x)=\int \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x)^{n} d x=\sum_{n=0}^{\infty} \int(-1)^{n}(x)^{n} d x\]

Y así, resolviendo la integral, encontramos una representación en serie para \(f(x)\). Es como si estuviéramos integrando cada término del sumatorio que representa \(f^{\prime}(x)\). Mira: 

\[f(x)=\ln (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n+1}}{n+1}\]

OBS: podemos manipular de esta forma (derivando e integrando) si la serie de potencias tiene un radio de convergencia \(R>0\). 

Esta estrategia de derivar la función para luego integrarla será muy útil para representar funciones por series. Así que practiquemos estas transformaciones con los ejercicios.