Serie de Taylor

Repasando lo que hemos aprendido… 

 

Hasta ahora, si te pido que representes la función:

 

\[f(x)=\frac{1}{2-x}\]

 

Podrías hacer la comparación con la serie de potencias más importante: la serie geométrica:  

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}\]

 

Después de todo, podrías resolverla con tan solo estos dos pasos:

 

Paso 1: reescribir la función \(f(x)\) para que se parezca a la serie geométrica… 

 

\[f(x)=\frac{1}{2+x}=\]

 

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\]

 

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}\]

 

Paso 2: comparando esa expresión con la serie geométrica 

 

\[\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \quad \rightarrow \quad \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}\]

 

Pero, no podemos olvidarnos del término \(1 / 2\) en evidencia. Es decir, la representación de la función es 

 

\[f(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}\]

 

Introducción a la serie de Taylor

 

Y si el problema te pide encontrar una representación en serie, del seno de \(x\), por ejemplo:

 

\[f(x)=\operatorname{sen} x\]

 

Observa que no podemos hacer la comparación con la serie geométrica, ni siquiera se puede derivar o integrar (después de todo, las derivadas o la integral de seno, todavía generan coseno). En este caso la solución es la representación en serie de Taylor. 

 

Siempre que tengas una función infinitamente derivable (es decir, nunca será cero) y definida en un intervalo de la serie, podemos escribir esa función con lo siguiente:

 

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n !}(x-a)^{n}\]

 

Donde, \(f^{n}(a)\) es la derivada de orden \(n\) de la función \(f(x)\) en el punto \(a\), y \(a\) es el punto central de la serie. 

 

Vamos a encontrar la representación de la función \(f(x)=\operatorname{sen} x\) centrada en cero. Vamos a seguir \(4\) pasos:

 

   \(1.\) Hallar las derivadas para encontrar un patrón

 

   \(2.\) Sustituir el punto \(x=0\)

 

   \(3.\) Encontrar un patrón para las derivadas en el punto

 

   \(4.\) Con el patrón encontrado, debes volver a la serie

 

Paso 1: primero se calculan las derivadas hasta encontrar el patrón:

 

\[f(x)=\operatorname{sen} x\]

 

\[f^{\prime}(x)=\cos x\]

 

\[f^{\prime \prime}(x)=-\operatorname{sen} x\]

 

\[f^{\prime \prime \prime}(x)=-\cos x\]

 

\[f^{4}(x)=\operatorname{sen} x\]

 

Observa que en la cuarta derivada volvemos a \(\operatorname{sen} x\), indicando un patrón a partir de ese punto. Entonces, primer paso listo: patrón encontrado.

 

Paso 2: sustituir el punto \(x=0\):

 

\[f(0)=\operatorname{sen} 0=0\]

 

\[f^{\prime}(0)=\cos 0=1\]

 

\[f^{\prime \prime}(0)=-\operatorname{sen} 0=0\]

 

\[f^{\prime \prime \prime}(0)=-\cos 0=-1\]

 

\[f^{4}(0)=\operatorname{sen} 0=0\]

 

Paso 3: encontrar un patrón para las derivadas:

 

Observa que para las derivadas de orden par, el resultado dio cero ( \(f^{\prime \prime}(0)=0\) y \(f^{4}(0)=0\)). Mientras que para las derivadas de orden impar, el resultado varió entre \(1\) y \(-1\). Entonces, vamos a dividir el análisis en dos partes para entender mejor el patrón:

 

   \(\bullet\) Análisis \(1\): todo los términos que tengan \(n\) par serán cero. Entonces, podemos llamar al exponente \(n\) como \(2m\) (donde \(m\) es \(1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\)), así siempre tendremos un número par. En el punto \(0\) tendremos:

 

\[f^{2 m}(0)=0\]

 

   \(\bullet\) Análisis \(2\): si tenemos un exponente impar, este se intercala entre \(+1\) y \(-1\). Entonces, para tener un \(n\) impar, decimos que \(n=2 m+1\). Debemos hallar un patrón de cuando será \(-1\) y cuando será \(+1\).

 

Cuando \(n=1\), tendremos:

 

\[1=2 m+1 \rightarrow m=0\]

 

Cuando \(n=3\), tendremos:

\[3=2 m+1 \rightarrow m=1\]

 

Recuerda que lo único que cambia es el signo del resultado (\(+1\) y \(-1\)) y en este caso tenemos a \(m\) variando entre par e impar. Entonces, encontramos un patrón: cuando \(m\) es par el resultado de la derivada es positivo y cuando \(m\) es impar el resultado de la derivada es negativo, entonces:

 

\[f^{2 m+1}=(-1)^{m}\]

 

Paso 4: con el patrón hallado, debemos volver a la serie

 

\[f(x)=\operatorname{sen} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(0)}{n !} x^{n}\]

 

En este ejemplo, \(f^{n}\), fue dividido en dos partes: par \((n=2 m)\) e impar \((n=2 m+1)\). Debemos hacer lo mismo con la serie:

 

\[f(x)=\operatorname{sen} x=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{2 m}(0)}{2 m !} x^{2 m}+\sum_{m=0}^{\infty} \frac{f^{2 m+1}(0)}{(2 m+1) !} x^{2 m+1} \rightarrow\]

 

Sustituyendo el paso \(3\):

 

\[f(x)=\operatorname{sen} x=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{0}{2 m !} x^{2 m}+\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{(2 m+1) !} x^{2 m+1} \rightarrow\]

 

\[f(x)=\operatorname{sen} x=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{(2 m+1) !} x^{2 m+1}\]

 

¡Y listo! Hallamos la serie de Taylor para la función \(\operatorname{sen} x\).

 

¡Ahora vamos a profundizar más!

 

Desarrollando la serie de Taylor o MacLaurin

 

¡Vamos a probar la serie de Taylor y MacLaurin! La verdad es que en el fondo el problema es el mismo, es decir, queremos encontrar una representación en serie de potencias de la función seno (alrededor de \(0\) por ahora):

 

\[f(x)=\operatorname{sen} x=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}=\]

 

\[c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+\ldots\]

 

Por tanto, tenemos que saber quienes son esos coeficientes, ¿cierto?

 

Observa que haciendo \(x=0\), todos los términos, exceptuando c_{0}, serán nulos. 

 

\[f(0)=\operatorname{sen} 0=c_{0}\]

 

Entonces, encontramos el primer coeficiente. Pero, ¿Y el segundo? Tenemos que hallar una forma de eliminar \(x\) de él. ¿Cómo podemos hacerlo? Derivando 

 

\[f^{\prime}(x)=\cos x=c_{1}+2 c_{2} x+3 c_{3} x^{2}+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n} x^{n-1}\]

 

Ahora haciendo \(x=0\):

\[f^{\prime}(0)=\cos 0=c_{1}\]

 

Tiene cierta lógica, ¿no? Vamos \(c_{2}\), juntos…Primero derivando nuevamente:

 

\[f^{\prime \prime}(x)=-\operatorname{sen} x=2 c_{2}+2 \cdot 3 c_{3} x+\ldots=\sum_{n=2}^{\infty}(n-1) n c_{n} x^{n-2}\]

 

Sustituyendo \(x=0\):

 

\[f^{\prime \prime}(0)=-\operatorname{sen} 0=2 c_{2} \quad \rightarrow\]

 

\[c_{2}=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2}=-\frac{\operatorname{sen} 0}{2}\]

 

Si hacemos \(c_{3}\), concluimos que es así

 

\[f^{\prime \prime \prime}(x)=-\cos x=2 \cdot 3 c_{3}+2 \cdot 3 \cdot 4 c_{4} x+\ldots=\sum_{n=2}^{\infty}(n-2)(n-1) n c_{n} x^{n-3}\]

 

Sustituyendo \(x=0\):

\[f^{\prime \prime \prime}(0)=-\cos 0=2 \cdot 3 c_{3}\]

 

\[c_{3}=\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3 \cdot 2}\]

 

¡Como puedes ver, tenemos un patrón! Para hallar \(c_{n}\) solo debemos dividir la derivada de orden \(n\) por \(n !\). Vamos a hallar \(c_{4}\)

 

\[f^{4}(x)=\operatorname{sen} x=2 \cdot 3 \cdot 4 c_{4}+\ldots=\sum_{n=2}^{\infty}(n-3)(n-2)(n-1) n c_{n} x^{n-4}\]

 

Nuevamente, sustituyendo \(x=0\),

 

\[f^{4}(0)=\operatorname{sen} 0=2 \cdot 3 \cdot 4 c_{4}\]

 

Es decir,

\[c_{4}=\frac{f^{4}(0)}{4 \cdot 3 \cdot 2} \quad o \quad c_{4}=\frac{f^{4}(0)}{4 !}\]

 

En general, para decir quién es \(c_{n}\), solo debes hacer lo siguiente:

 

\[c_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n !}\]

 

Entonces, la serie de \(\operatorname{sen} x\) puede ser representada por:

 

\[f(x)=\operatorname{sen} x=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}=\]

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(0)}{n !} x^{n}\]

 

Y no solo la serie de seno, sino cualquier otra función que sea derivable en \(x=0\) tantas veces se quiera. Por ejemplo, la función \(\cos x,\) \(e^{x}\) y muchas otras.

 

En ese caso, la serie de Taylor recibe un nombre distinto: serie de MacLaurin (debido a que se trata de \(x=0\)). Si quieres representar una función alrededor de otro punto, el punto \(a\), por ejemplo, harias lo siguiente:

 

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}\]

 

La diferencia es que \(c_{n}\) debe ser calculado con las derivadas en el punto \(a\), y no en cero:

 

\[c_{n}=\frac{f^{n}(a)}{n !}\]

 

Ya sabemos quién es la serie de Taylor. ¿Qué te parece si vemos algunas de sus aplicaciones?

 

Aplicación: derivadas superiores

 

Una de las aplicaciones más geniales de la serie de Taylor es el cálculo de derivadas superiores sin tener que derivar.

 

Sabemos que los coeficientes de la serie de Taylor son dados por:

 

\[\frac{f^{n}(a)}{n !}=c_{n}\]

 

O sea,

 

\[f^{n}(a)=n ! c_{n}\]

 

Entonces, si quisiéramos calcular \(f^{n}(a)\), podemos usar la expresión de la función en serie de Taylor y comparar los términos.

 

Por ejemplo, si tuviéramos la siguiente serie de Taylor:

 

\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^{2}}{n^{3}}(x-2)^{n}\]

 

Y necesitamos determinar, por ejemplo, \(f^{(7)}(2)\). En otras palabras, vamos a determinar la derivada de orden \(7\) de la función \(f\) en el punto \(x=2\). Gracias a la serie de potencias sabemos que:

 

\[c_{n}=\frac{(n+1)^{2}}{n^{3}}\]

 

La parte \((x-2)^{n}\) se refiere a que la función debe estar centrada en \(2\). Ya sabemos quién es \(c_{n}\). Entonces,

 

\[f^{n}(2)=\frac{n !(n+1)^{2}}{n^{3}}\]

 

Como queremos la séptima derivada de \(f\), sólo decimos que \(n=7\) en la fórmula anterior y obtenemos:

 

\[f^{(7)}(2)=\frac{7 !(7+1)^{2}}{7^{3}}\]

 

\[f^{(7)}(2)=5040 \cdot \frac{64}{343}=\frac{322560}{343}\]

 

Y listo, tenemos la derivada de \(f^{(7)}(2)\) sin tener que derivar la función siete veces. 

 

¡Vamos a los ejercicios!