Teorema del resto de las series alternadas de Taylor

Repaso - Series alternadas

Antes de ver el Teorema de las series alternadas, recordemos qué es una serie alternada.

Una serie alternada es aquella en la que cada término tiene un signo distinto, es decir, alternando entre signos. ¿Pero eso qué quiere decir?

Si tienes un término positivo, el próximo término es negativo. Y si tienes \(m\) término negativo, el próximo es positivo. Veamos un ejemplo de la serie alternada:

\[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\ldots\]

Esa serie es llamada “serie armónica alternada”

Ahora que sabemos lo que es una serie alternada, veamos como se dá su convergencia. La convergencia de las series alternadas puede ser verificada por los criterios establecidos en el teorema de Leibniz. ¡No te asustes! Veamos el teorema de Leibniz

Sea una serie alternada genérica:

\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}=u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+\ldots\]

El teorema de Leibniz nos dice que va a converger si se satisfacen las siguientes condiciones:

   \(1.\) Todos los \(u_{n}\) deben ser positivos.

   \(2.\) \(u_{n} \geq u_{n+1}\) para todo \(n \geq N\), para algún \(N\) entero.

   \(3.\) \(u_{n} \rightarrow 0\)

Si la serie sigue estos tres criterios, entonces la serie converge.

Creo que eso es todo lo que necesitábamos recordar para comenzar a ver el Teorema de las series alternadas.

Teorema de las series alternadas

Vamos a tomar como ejemplo una serie alternada convergente, es decir, que satisface los tres criterios anteriores. Ahora vamos a evaluar como la suma de esa serie cambia de acuerdo con el número de términos que estemos tomando.

La suma de \(n\) términos puede ser definida como \(s_{n}\), es decir:

\[s_{n}=u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+\ldots+(-1)^{n+1} u_{n}\]

Y vamos a llamar a:

\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}=L\]

Observando con atención la imagen

Podemos ver que la suma se va aproximando a \(L\) conforme vamos aumentando el valor de \(n\). Y que la distancia entre la suma parcial \(\left(s_{n}\right)\) y \(L\) es menos que el término \(u_{n}\).

Esas observaciones nos ayudarán a entender mejor el teorema. 

Teorema: si la serie alternada satisface las tres condiciones de convergencia, entonces para \(n \geq N\), \(s_{n}\) se aproxima a la suma \(L\) de la serie con un error cuyo valor absoluto es menor que \(u_{n+1}\), que el valor numérico del primer término a no ser utilizado. 

¿Qué quiere decir eso? Que al aproximar la serie:

\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_{n}=u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+\ldots\]

Haciendo un truncamiento con \(n\) términos, el error de esta aproximación es menor que el primer término dejado fuera. Es decir,

\[|error|\leq u_{n+1}\]

Además, tenemos que el signo del error es el mismo signo de \(u_{n+1}\) en la serie.

Y esto se puede aplicar para estimar el error de series de potencias alternadas, mira el ejemplo:

Ejemplo: encuentre la serie de Taylor generada por \(f(x)=1 / x\) en \(a=2\) y evalúa su error para \(x=3\) aproximando la función con tres términos. 

Paso 1:

Debemos encontrar los patrones de las derivadas,

\[f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\]

\[f^{\prime}(x)=-x^{-2}\]

\[f^{\prime \prime}(x)=2 x^{-3}\]

\[f^{\prime \prime \prime}(x)=-2 \cdot 3 x^{-4}=-3 ! x^{-4}\]

Entonces,

\[f^{(n)}(x)=(-1)^{n} n ! x^{-(n+1)}\]

Paso 2:

La serie de Taylor es dada por,

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n !}(x-a)^{n}=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{3 !}(x-a)^{3} \cdots\]

Como \(a=2\) y tenemos los valores de las derivadas:

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(2)}{n !}(x-2)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n ! 2^{-(n+1)}}{n !}(x-2)^{n}\]

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-2)^{n}}{2^{(n+1)}}=\frac{1}{2}-\frac{x-2}{2^{2}}+\frac{(x-2)^{2}}{2^{3}}-\ldots+(-1)^{n} \frac{(x-2)^{n}}{2^{(n+1)}}\]

Entonces tenemos una serie alternada y podemos evaluar el error a través del teorema de las series alternadas. 

 Paso 3:

Vamos a calcular algunas sumas parciales y ver cómo se aproximan a la función.

Tomando tres términos de la serie, tenemos:

\[s_{n}=\frac{1}{2}-\frac{3-2}{2^{2}}+\frac{(3-2)^{2}}{2^{3}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=0,375\]

Pero sabemos que,

\[f(3)=\frac{1}{3}=0,333\]

Entonces, de acuerdo con el teorema de las series alternadas, el error \((0,375-0,333)=0,042\) debe ser menor que el cuarto término de la serie, que es:

\[\frac{(3-2)^{3}}{2^{4}}=\frac{1}{16}=0,062\]

Y así comprobamos que el teorema funciona.