Solución de EDO - Punto ordinario

Introducción

 

Probablemente estés cansado de oír hablar sobre series, radio de convergencia, intervalo de convergencia, representación de funciones, etc. ¿Para qué sirve todo eso? Uno de los motivos por los cuales has estudiado todo eso es para esto: resolver ecuaciones diferenciales (EDO’s) de 2do orden usando series.

 

No te preocupes que veremos todo eso con calma. 

 

Hasta el momento, supongo que sabes resolver una EDO como esta:

 

\[y^{\prime \prime}-y=0\]

 

Es una EDO de coeficientes constantes, por tanto, puede ser resuelta usando la ecuación característica:

 

\[r^{2}-1=0\]

 

Entonces, resolverías esa ecuación y dependiendo de \(\Delta\), tendrías tres modelos de respuesta: 

 

   \(1.\) \(\Delta>0\): encontramos dos raíces reales diferentes \(\left(r_{1} \neq r_{2}\right)\). En este caso, las soluciones de la EDO son del tipo \(y(x)=\alpha e^{r_{1} x}+\beta e^{r_{2} x}\);

 

   \(2.\) \(\Delta=0\): encontramos una raíz real doble \(r\). En este caso, las soluciones de la EDO son del tipo \(y(x)=(\alpha+\beta x) e^{r x}\);

 

   \(3.\) \(\Delta<0\): encontramos dos raíces complejas conjugadas \(r_{1}=\alpha+i \beta\)  y  \(r_{2}=\alpha-i \beta\). En este caso, las soluciones de la EDO son del tipo \(y(x)=c_{1} e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2} e^{\alpha x} \operatorname{sen} \beta x\).

 

En nuestro caso, la solución de la ecuación característica es:

 

\[r=\pm 1\]

 

Por tanto, estamos hablando del primer caso, donde la respuesta es:

 

\[y(x)=\alpha e^{x}+\beta e^{x}\]

 

Si fuera un problema de PVI (problema de valor inicial), el problema te daría los datos iniciales, tipo \(y(0)=1\) y \(y^{\prime}(0)=0\), donde sustituirías en la respuesta para determinar \(\alpha\) y \(\beta\) siendo ambos iguales a \(1/2\) en ese caso. 

 

Pero solo rehacemos la EDO, por el hecho de que los coeficientes son constantes. Y si no fuese así, pero si es de esta manera:

 

\[y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0\]

 

En este caso no se puede usar las ecuaciones características (porque los coeficientes no son constantes). Una manera interesante de resolverlo es usando las series de potencias.

 

Solución de EDO por series

 

Te aviso que el método es extenso, pero entendiendo los pasos y practicando todo se volverá más fácil. Veamos un ejemplo mostrando los pasos del método:

 

Ejemplo: encuentre la solución del siguiente problema de valor inicial:

 

\[y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0\]

 

Donde

\[y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\]

 

Paso 1: primero, vamos a suponer que la solución de la EDO es una serie de potencia centrada en \(x=0\):

 

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \ldots\]

 

Esa es la serie que representa \(y(x)\). Escribimos en torno al punto \(x_{0}=0\) porque los datos que el problema da son en ese punto. Este es un punto ordinario, pero eso lo entenderás más adelante. 

 

Ese \(a_{n}\) representa los coeficientes de cada término de la serie, puede ser cualquier expresión. Encontrando los \(a_{n}`{s}\), definimos \(y(x)\). Es lo que haremos a continuación

 

Cierto, si \(y(x)\) es dada por la expresión, entonces podemos derivar:

 

\[y^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \ldots\right)^{\prime}=\]

 

Y la segunda derivada es…

 

\[y^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}\]

 

Observa que, cuando derivamos por \(1^{era}\) vez, el término constante \(a_{0}\) desaparece del sumatorio, porque su derivada es cero. Por eso, el sumatorio que representa \(y^{\prime}(x)\) comienza en \(n=1\). Cuando derivamos por \(2^{da}\) vez, el segundo término del sumatorio, \(a_{1}x\) también desaparece, porque su segunda derivada es cero. Entonces, el sumatorio que representa \(y^{\prime \prime}(x)\) comienza en \(n=2\).

 

Tranquilo, vas a entender por qué derivamos la serie.

 

Paso 2: si \(f(x), f^{\prime}(x)\) y \(f^{\prime \prime}(x)\) son dadas por esas series, sustituyendo esas expresiones en la EDO, no alteramos nada, ¿verdad? Sigue siendo la misma ecuación. Mira:

 

\[y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0 \rightarrow\]

 

\[\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}-2 x \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}+2 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0\]

 

Podemos tomar esa \(x\) de lado de afuera y pasarla hacia adentro, recordando que \(x \cdot x^{n}=x^{n+1} \ldots\)

 

\[\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}-2 \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}+2 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0\] 

 

¿Cierto? 

 

Paso 3: debemos agrupar esos sumatorios, para simplificar las cosas;

 

PRIMERO, vamos a dejarlos con la misma potencia de \(x\), en este caso, \(x^{n}\). Mira la primera serie:

 

\[\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}\]

 

Para quedarnos con el mismo \(n\) en el exponente, no tenemos que sumar \(2\), ¿verdad? Pues al final \(n-2+2=n\). Entonces, en la práctica, vamos a colocar \(2\) frente de todo \(n\) en el sumatorio:  

 

\[\sum_{n+2=2}^{\infty}(n+2)(n+2-1) a_{n+2} x^{n+2-2}\]

 

\[\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}\]

 

¿Ves? ¡Y lo bueno es que no alteramos la serie! Si quieres puedes verificarlo separando los términos. 

 

Claro, el índice del sumatorio cambió. Y debe cambiar, para compensar (el mismo razonamiento que tenemos para las sustituciones en las integrales). Ya que sumamos  \(2\) en los \(n\)`s del sumatorio, ahora \(n\) debe comenzar dos unidades antes, para compensar: entonces \(2\) eliminamos del índice (en el ejemplo paso de \(n=2\) a \(n=0\).

 

Entonces, tenemos:

 

\[\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty} 2 n a_{n} x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} 2 a_{n} x^{n}=0\]

 

SEGUNDO: para colocar esas dos series dentro de una sola, todavía es necesario hacer que los sumatorios comiencen en el mismo \(n=1\) que es mayor valor en ese ejemplo. Para eso, basta con tomar las series que son diferentes y eliminar el primer valor \(n=0\).

 

Haciendo eso con la primera serie…

 

 \[\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}=\left[(0+2)(0+1) a_{0+2} x^{0}\right]+\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} \rightarrow\]

 

\[\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}=\left[2 a_{2}\right]+\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}\]

 

Haciendo lo mismo con último serie:

 

\[\sum_{n=0}^{\infty} 2 a_{n} x^{n}=\left[2 a_{0}\right]+2 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}\]

 

Y así, podemos concluir lo siguiente:

 

\[2 a_{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty} 2 n a_{n} x^{n}+2 a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} 2 a_{n} x^{n}=0\]

 

Paso 4: finalmente, vamos a agrupar los sumatorios, colocando \(x^{n}\) en evidencia.

 

Tenemos:

 

\[\left[2 a_{2}+2 a_{0}\right]+\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}-2 n a_{n}+2 a_{n}\right]=0 \rightarrow\]

 

\[\left[2 a_{2}+2 a_{0}\right]+\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}\left[(n+2)(n+1) a_{n+2}+2 a_{n}(1-n)\right]=0 \rightarrow\]

 

Paso 5: observa que tenemos un sumatorio de términos positivos que es igual a cero, entonces… el término de corchetes debe ser cero. Además, \([2a_{2}+2a_{o}]\) también debe ser \(0\) para satisfacer esa igualdad. Entonces llegamos a esto:

 

\[\left\{\begin{array}{c}2 a_{2}+2 a_{0}=0 \\ (n+2)(n+1) a_{n+2}+2 a_{n}(1-n)=0\end{array}\right.\]

 

Esta relación es llamada relación de recurrencia de los coeficientes, Bien, ahora con base en esa ecuación, vamos calcular algunas \(a_{n}\)`s y procurar una expresión en función de \(n\) que lo defina. Recordando usar los datos que el problema nos dio: \(y(0)=1\), \(y^{\prime}(0)=0\). Traduciendo para la representación en series: 

 

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3} \ldots\]

 

\[y(0)=a_{0}=1\]

 

\[y^{\prime}(0)=a_{1}=0\]

 

Y recordando que

\[2 a_{2}+2 a_{0}=0 \rightarrow \quad a_{2}=-1\]

 

Ahora si, con esos dados vamos a usar la relación de recurrencia:

 

\[(n+2)(n+1) a_{n+2}+2 a_{n}(1-n)=0\]

 

Despejando un poco más:

 

\[a_{n+2}=\frac{n-1}{(n+2)(n+1)} 2 a_{n} \text { para } \space n \geq 1\]

 

A partir de ahora, siempre deberás hacer lo siguiente: sustituir valores para \(n\) hasta encontrar un patrón y no necesitarás sustituir más (podrás adivinar el término mentalmente), mira:

 

\[\text { para } n=1 \rightarrow \quad a_{3}=\frac{1-1}{(1+2)(1+1)} 2 a_{1}=0\]

 

\[\text { para } n=2 \rightarrow a_{4}=\frac{2-1}{(2+2)(2+1)} 2 a_{2}=\frac{1}{4 \cdot 3} 2 a_{2}\]

 

\[\text { para } n=3 \rightarrow a_{5}=\frac{3-1}{(3+2)(2+3)} 2 a_{3}=\frac{2}{5 \cdot 4} 2 a_{3}\]

 

\[\text{ para }n=4 \rightarrow a_{6}=\frac{4-1}{(4+2)(4+1)} 2 a_{4}=\frac{3}{6 \cdot 5} 2 a_{4}\]

 

\[\text { para } n=5 \rightarrow a_{7}=\frac{5-1}{(5+2)(5+1)} 2 a_{5}=\frac{4}{7 \cdot 6} 2 a_{5}\]

 

\[\text {para } n=6 \rightarrow a_{8}=\frac{6-1}{(6+2)(6+1)} 2 a_{6}=\frac{5}{8.7} 2 a_{6}\]

 

Confuso, ¿no? Pues sí, es un poco complicado al principio, pero si simplificas y sustituyes el valor \(a_{0}=1\), \(a_{1}=0\) y \(a_{2}=-1\) y después sustituimos cada valor que encontramos en el próximo, mira lo que vamos a obtener:

 

\[\text {para } n=1 \rightarrow \quad a_{3}=0\]

 

\[\text { para } n=2 \rightarrow \quad a_{4}=\frac{1}{4 \cdot 3} 2 a_{2}=-\frac{1}{4 \cdot 3} 2\]

 

\[\text { para } n=3 \rightarrow \quad a_{5}=\frac{2}{5 \cdot 4} 2 a_{3}=0\]

 

\[\text { para } n=4 \rightarrow \quad a_{6}=\frac{3}{6 \cdot 5} 2 a_{4}=\frac{3}{6 \cdot 5} 2\left(-\frac{1}{4 \cdot 3} 2\right)=-\frac{3}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} 2^{2}\]

 

\[\text {para } n=5 \rightarrow \quad a_{7}=\frac{4}{7 \cdot 6} 2 a_{5}=0\]

 

\[\text { para } n=6 \rightarrow a_{8}=\frac{5}{8 \cdot 7} 2 a_{6}=\frac{5}{8 \cdot 7} 2\left(-\frac{3}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} 2^{2}\right)=-\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} 2^{3}\]

 

Date cuenta que sin hacer ninguna operación, podemos saber quiene son \(a_{9}\) y \(a_{10}\), tan solo observando el patrón:

 

\[a_{9}=0\]

 

\[a_{10}=-\frac{7 \cdot 5 \cdot 3}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} 2^{4}\]

 

En  \(a_{10}\) podemos dividir y multiplicar por \(2\) al mismo tiempo:

 

\[a_{10}=-\frac{7 \cdot 5 \cdot 3}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} 2^{5}=-\frac{7 \cdot 5 \cdot 3}{10 !} 2^{5}\]

 

Cada vez que podamos adivinar el siguiente término sin hacer cuentas, significa que estamos listos para el siguiente paso:

 

Paso 6: generalizar para cualquier \(a_{n}\):

 

Como podemos ver, todos los \(a_{n}\)`s con \(n\) impar son iguales a cero. Si \(n=2 p+1\)

 

\[a_{n}=a_{2 p+1}=0\]

 

Y para los pares, si \(n=2 p\), podemos decir lo siguiente:

 

\[a_{2 p}=-\frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot(2 p-3)}{(2 p) !} 2^{p}\]

 

Ese \((2 p-3)\) solo sirve para indicar que el último término del producto es tres unidades menos que \(2p\). Entonces, si \(2p=10\), el último será \(7\) como en \(a_{10}\)

 

Una cosa que podemos notar ahí es que cada vez que tenemos un producto de términos impares, podemos hacer lo siguiente:

 

   \(\bullet\) Multiplica arriba y abajo por los pares que faltan (recuerda que el último término antes de \((2p-3)\) es \((2p-4)\), solo debes pensar que \(2p\) es \(10\), por ejemplo… 

 

\[a_{2 p}=-\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot(2 p-4) \cdot(2 p-3)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 p-4) \cdot(2 p) !} 2^{p}\]

 

   \(\bullet\) La parte de arriba se convirtió en un factorial

 

\[a_{2 p}=-\frac{(2 p-3) !}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 p-4) \cdot(2 p) !} 2^{p}\]

 

   \(\bullet\) Abajo, podemos colocar a \(2\) en evidencia

 

\[a_{2 p}=-\frac{(2 p-3) !}{2[1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(p-2)] \cdot(2 p) !} 2^{p}\]

 

   \(\bullet\) El término de corchetes, ahora es un factorial

 

\[a_{2 p}=-\frac{(2 p-3) !}{(p-2) ! \cdot(2 p) !} 2^{p-1}\]

 

¡Y listo!

 

Puedes mantener el índice \(n\), en lugar de \(p\) si quisieras, pero terminarás confundiendote. Después que escribas la fórmula general para \(a_{n}\) sería bueno probar algunos valores y verificar si es correcta.

 

Paso 7: finalmente, basta con sustituir la expresión que encontramos para los coeficientes en la serie 

 

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\]

 

Recuerda que separamos \(n\) en términos pares \((n=2p)\) e impares \((n=2p+1)\), entonces:

 

\[y(x)=\sum_{p=0}^{\infty} a_{2 p} x^{2 p}+\sum_{p=0}^{\infty} a_{2 p+1} x^{2 p+1}\]

 

\[y(x)=\sum_{p=0}^{\infty} a_{2 p} x^{2 p}=\sum_{p=0}^{\infty}-\frac{(2 p-3) !}{(p-2) ! \cdot(2 p) !} 2^{p-1} \cdot x^{2 p}\]

 

Y eso es todo, puedes terminar por aquí. Al final, si tienes un valor para \(x\), solo debes ponerlo en una calculadora y encontrar la respuesta para \(y(x)\).

 

OBS IMPORTANTÍSIMA: para resolver ese problema, sustituimos \(a_{0}\) y \(a_{1}\), porque eran dados por el problema inicial. Muchas veces (lo verás en los ejemplos), no te darán esos términos, por tanto, aparecerán en la respuesta; estos estarían haciendo el papel de \(\alpha\) y \(\beta\) del ejemplo al inicia del tema, es decir, de las constantes.

 

Punto ordinario

 

Antes de pasar al resúmen práctico, veamos el punto ordinario:

 

En general, tendrás que resolver una EDO de este tipo:

 

\[P(x) y^{\prime \prime}+Q(x) y^{\prime}+R(x) y=0\]

 

El método que vimos es válido para cuando el punto \(x_{0}\) en el que la serie de potencias está centrada (en el ejemplo fue \(x_{0}=0\)) es ordinario.

 

Tu: “¿Ah, pero y si no es ordinario?”

 

Respuesta: veremos como resolver ese problema en los siguientes temas

 

Veamos la explicación:

 

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}\]

 

Estamos representado \(y(x)\) por una serie centrada en el punto \(x_{0}\), que el problema pide o que tu mismo escoges (en el caso del ejemplo escogimos \(0\), porque así después tendríamos el valor de \(a_{0}\) y \(a_{1}\) a través del PVI). 

 

¿Sabes \(P(x)\), el coeficiente de la EDO? Decimos que el punto \(x_{0}\) es ordinario cuando \(\boldsymbol{P}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right) \neq 0\) y cuando \(Q\left(x_{0}\right) / P\left(x_{0}\right)\) y \(R\left(x_{0}\right) / P\left(x_{0}\right)\) son funciones analíticas en el punto \(x_{0}\). Si alguna de esas condiciones no es atendida, \(x_{0}\) es un punto singular. En la práctica, acabaremos considerando que cuando \(P\left(x_{0}\right) \neq 0\), \(x_{0}\) es un punto ordinario. 

 

Por ejemplo, la EDO que resolvimos en este tema tenía \(P(x)=1\)

 

\[y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0\]

 

Entonces, cualquier punto era ordinario: a fin de cuentas, \(P(x)=1\) y nunca será cero.

 

Sin embargo, en esta otra ecuación:

 

\[\left(x^{2}-1\right) y^{\prime \prime}+x y=0\]

 

Tenemos que \(\left(x^{2}-1\right)=0\) cuando \(x=\pm 1\). Por tanto, no podemos describir \(y(x)\) como una serie de potencias centradas en \(x_{0}=\pm 1\). Podemos centrarla en \(x_{0}=0\), por ejemplo. Siempre tenemos que verificar si el punto \(x_{0}\) con el que estamos trabajando es ordinario. 

 

Resúmen práctico

 

Básicamente, lo que hicimos fue asumir que la solución de la EDO \(y(x)\) tiene representación en serie. Entonces, sustituimos \(y\) y sus derivadas por series. Encontramos los coeficientes de la serie que representa \(y\), tenemos la respuesta. Resumido así todo parece fácil, ¿verdad? 

 

¿Pero por qué habríamos de usar ese método tan complicado para resolver EDO’s? Uno de los motivos es sencillo: tu examen te dirá que lo hagas. 

 

¿Cuál es la ventaja de este método? ¿Cuándo podemos usarlo? Una de las ventajas, es que podemos resolver EDO’s cuyos coeficientes son funciones:

 

\[P(x) y^{\prime \prime}+Q(x) y^{\prime}+R(x) y=0\]

 

Por ejemplo: \(\left(x^{2}-1\right) y^{\prime \prime}+x y=0\)

 

Esa EDO no puede ser resuelta por el método de la ecuación característica, que mencionamos al inicio del tema, pues los coeficientes de la ecuación son funciones de \(x\). Sin embargo, podemos resolver sin problemas usando series. 

 

Si, esa forma de resolver EDO 's es un poco complicada, pero si te das cuenta, no es demasiado trabajosa. Siempre son los mismos pasos, veamos cuales son:

 

   \(1.\) Verificar que el punto \(x_{0}\) es ordinario 

 

   \(2.\) Definir

 

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\]

 

\[y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}\]

 

\[y^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}\]

 

Y sustituir en la EDO \(y, y^{\prime}\) y \(y^{\prime \prime}\) por esas series.

 

   \(3.\) Igualar las potencias de \(x\), en general, por \(x^{n}\). Cuando se suma un valor al término general de la serie, restar el mismo en el valor inicial del índice \(n\).

 

   \(4.\) En caso de que no sean el mismo, igualar los índices de los sumatorios por el mayor, colocando afuera del sumatorio los términos correspondientes a los índices anteriores;

 

   \(5.\) Unir los sumatorios poniendo a \(x^{n}\) en evidencia. En caso de que haya términos independientes (sueltos afuera del sumatorio) es una buena idea agruparlos dentro de paréntesis de acuerdo con la potencia de \(x\) que lo multiplica;

 

   \(6.\) Como \(x^{n} \neq 0\), igualar el término que multiplica la potencia a cero, encontrando la relación de recurrencia. Si hubiera términos fuera del sumatorio, también debemos igualar a cero. 

 

   \(7.\) Calcular algunos \(a_{n}\)`s (usando los datos iniciales del problema) y encontrar una (o más de una) expresión en función de \(n\) que los defina.

 

   \(8.\) Restar en la serie de potencias esa expresión para \(a_{n}\)

 

En caso de que el problema te lo pida, puedes calcular el radio de convergencia de la serie por los métodos que vimos en el tema anterior. 

 

¿Te pareció complicado? Pronto te acostumbraras, solo debes hacer bastantes ejercicios, se parecen bastante al ejemplo que acabamos de ver. 

 

¿Qué hacer cuando no tenemos una función homogénea?

 

Es decir,

\[P(x) y^{\prime \prime}+Q(x) y^{\prime}+R(x) y=f(x)\]

 

En este caso, el método tampoco cambia. Nuevamente, el hecho de que la ecuación no sea homogénea va a alterar el paso 5. Veamos un ejemplo para entender mejor:

 

Ejemplo:

 

Considere la ecuación diferencial:

 

\[y^{\prime \prime}-x y=3\]

 

Como \(y(0)=1\)  y  \(y^{\prime}(0)=0\).

 

Cuya solución buscaremos en forma de serie de potencias:

 

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\]

 

Determina la relación de recurrencia entre los coeficientes. 

 

Paso 1:

 

Debemos resolver la ecuación diferencial dada \(y^{\prime \prime}-x y=3\), sabiendo que:

 

\[y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\]

 

Entonces debemos calcular \(y^{\prime}(x)\) y \(y^{\prime \prime}(x)\):

 

\[y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} n x^{n-1}\]

 

\[y^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} a_{n} n(n-1) x^{n-2}\]

 

Paso 2:

 

Ahora que tenemos los términos necesarios, vamos a sustituir en la ecuación diferencial:

 

\[\sum_{n=2}^{\infty} a_{n} n(n-1) x^{n-2}-x \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=3\]

 

Pasando \(x\) para dentro del sumatorio,

 

\[\sum_{n=2}^{\infty} a_{n} n(n-1) x^{n-2}-\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+1}=3\]

 

Paso 3:

 

Ahora tenemos que dejar todos los \(x^{n+1}\) dentro de los sumatorios, cambiando su índice. Comenzando con

 

\[\sum_{n=2}^{\infty} a_{n} n(n-1) x^{n-2} \Rightarrow \sum_{n=-1}^{\infty} a_{n+3}(n+3)(n+2) x^{n+1}\]

 

Esa era la única que debía cambiar, observa que esta vez tenemos \(n\) comenzando en un término negativo, no te preocupes por eso, ese \(n\) puede ser negativo en este caso porque cuando sustituyamos en el sumatorio no tendremos ningún problema. 

 

Paso 4:

 

La EDO será:

 

\[\sum_{n=-1}^{\infty} a_{n+3}(n+3)(n+2) x^{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+1}=3\]

 

Debemos dejar todos los inicios en el mismo lugar, vamos a comenzar todas con \(n=0\):

 

\[2 a_{2}+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+3}(n+3)(n+2) x^{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+1}=3\]

 

Juntando los sumatorios tendremos:

 

\[2 a_{2}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n+3}(n+3)(n+2)-a_{n}\right) x^{n+1}=3\]

 

Eso nos dice que:

\[2 a_{2}=3\]

 

Además, sacar la relación de recurrencia:

 

\[a_{n+3}(n+3)(n+2)-a_{n}=0\]

 

Tendremos:

\[a_{n-1}=\frac{a_{n}}{(n+3)(n+2)}\]

 

Con \(n=0,1,2 \ldots\)

 

¡Y LISTO! Ahí tenemos la relación de recurrencias, ¿viste como nada cambió? Te recomiendo ir a la sección de ejercicios y hacer unos cuantos porque la práctica hace al maestro, ¡vamos allá!