Obtención de la Forma Normal y Matricial
Introducción
En esta teoría definiremos cuál sería la forma normal de los sistemas EDO, cómo pasar ecuaciones a la forma normal y definir sistemas degenerados, sistemas de ecuaciones que no se pueden pasar a la forma normal.
Antes que nada, vamos a explicar que es un sistema EDOs.
¿Recuerdas cuando en la escuela tuviste que resolver un sistema de ecuaciones para encontrar el valor de una variable?
En este caso haremos algo similar, solo que en lugar de un valor encontraremos una función. A continuación veremos un sistema EDO.
\[\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x+y+t} \\ {y^{\prime}=x-y+t^{2}}\end{array}\right.\]
Un aspecto a resaltar es que el sistema EDO se debe escribir en notación matricial. El punto de la notación matricial es escribir el sistema en función de los coeficientes como si fuera una matriz. La forma de un sistema EDO de primer orden en forma de matriz será esta.
\[X^{\prime}(t)=A X(t)+g(t)\]
Veamos rápidamente qué es cada cosa en esta ecuación utilizando como modelo el sistema que escribimos anteriormente.
\(X^{\prime}(t)\) será el vector con las derivadas que en el caso de nuestro problema es
\[X^{\prime}(t)=\left[\begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{array}\right]\]
El vector \(X(t)\) será el vector de las funciones en el caso de nuestro problema.
\[X(t)=\left[\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]
Los vectores \(X(t)\) y \(X^{\prime}(t)\) son fáciles y directos, nuestra matriz \(A\) ya no será tan directa. La matriz \(A\) será la matriz de los coeficientes de las funciones \(x\) y \(y\).
\[A=\left[\begin{array}{cc}{1} & {1} \\ {1} & {-1}\end{array}\right]\]
El vector \(g(t)\) será el vector de la parte no homogénea del sistema, donde tiene funciones que no están escritas a partir de las funciones que ponemos en \(X(t)\). Cuando tenemos un sistema homogéneo, este vector será igual al vector nulo. \(g(t)\) tiene la siguiente forma en el ejemplo:
\[g(t)=\left[\begin{array}{l}{t} \\ {t^{2}}\end{array}\right]\]
Nuestro sistema en forma de matriz es el siguiente.
\[\left[\begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{1} & {1} \\ {1} & {-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t} \\ {t^{2}}\end{array}\right]\]
Si desarrolla este sistema, obtendremos las dos ecuaciones del principio.
La idea no es resolver este sistema, sino aprender cuál es la forma normal y cómo escribir una EDO o un sistema en este formato.
¿Pero cuál es la forma normal?
La forma normal de un sistema EDO es como las ecuaciones que acabamos de ver. Es decir, solo aparece una derivada de primer orden. Y adivina qué, podemos escribir una EDO como un sistema. Veamos el siguiente ejemplo:
\[2 y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}-5 y=0\]
Lo primero que debes hacer es aislar la derivada de orden más alto a un lado de la ecuación. En este caso, el orden más alto es 3, del término \(2 y^{\prime \prime \prime}\). Entonces,
\[2 y^{\prime \prime \prime}=5 y-4 y^{\prime}\]
Ahora debemos introducir nuevas variables. Pondremos el mismo número de variables que el orden de la EDO menos 1. Como tenemos una EDO de tercer orden, tendremos 2 variables nuevas: \(u, v\)
Necesitamos determinar la forma de estas nuevas variables. Siempre debemos igualar una de ellas con la primera derivada de la función original, \(y\). Y luego las otras variables son igualadas por las derivadas de orden superior. Confuso, ¿verdad?
Simplemente hazlo así:
\[u=y^{\prime}\]
\[v=y^{\prime \prime}\]
Lo siguiente es poner estas nuevas variables en la EDO original. Para esto debemos tener en cuenta que
\[v^{\prime}=y^{\prime \prime \prime}\]
Entonces, la EDO original se puede escribir como
\[2 y^{\prime \prime \prime}=5 y-4 y^{\prime \prime} \rightarrow 2 v^{\prime}=5 y-4 v\]
Tenemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas . ¿Lo puedes ver? Mira:
\[\left\{\begin{array}{c}{u=y^{\prime}} \\ {v=y^{\prime \prime} \rightarrow v=u^{\prime}} \\ {2 v^{\prime}=5 y-4 v \rightarrow v^{\prime}=\frac{5}{2} y-2 v}\end{array}\right.\]
Esta es la forma normal de una EDO. Para aclarar, ¿cuáles son las incógnitas? \(¡y, v\) y \(u!\)
Es muy importante que tengamos cada ecuación como arriba: una derivada igual a una función de las incógnitas del problema. Si tenemos una ecuación que involucra dos derivadas, debemos trabajar en el sistema hasta eliminar una de las derivadas.
Ahora vamos a escribir esos dos vectores \(X^{\prime}(t)\) y \(X(t)\)
\[X(t)=\left[\begin{array}{l}{y} \\ {u} \\ {v}\end{array}\right], X^{\prime}(t)=\left[\begin{array}{l}{y^{\prime}} \\ {u^{\prime}} \\ {v^{\prime}}\end{array}\right]\]
En forma de matriz.
\[\left[\begin{array}{l}{y^{\prime}} \\ {u^{\prime}} \\ {v^{\prime}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \\ {\frac{5}{2}} & {0} & {-2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{y} \\ {u} \\ {v}\end{array}\right]\]
¿Cuál es el tutorial?
Hagamos un paso a paso:
- Pasa las derivadas de orden más alto a un lado de la ecuación y el resto al otro.
- Realice un cambio de variable tal que, siendo \(n\) la derivada de grado más alto, todas las derivadas de grado hasta \(n-1\) sean renombradas a una nueva variable.
- Escriba la derivada de mayor grado de acuerdo con las variables creadas.
- Monte el sistema de la manera normal.
- .Si una de las ecuaciones involucra más de una derivada, deberíamos tratar de eliminarla.
Ahora, ¿qué pasa si en lugar de una EDO tenemos un sistema EDO? Te mostraré que hacer a continuación. Tomando el siguiente sistema de ecuaciones.
\[\left\{\begin{aligned} x^{\prime \prime}-x^{\prime}+5 x+2 y^{\prime \prime} &=e^{t} \\-2 x+y^{\prime \prime}+2 y &=3 t^{2} \end{aligned}\right.\]
Primero reescribamos el sistema colocando las derivadas más grandes a un lado y el resto de la ecuación al otro.
\[\left\{\begin{array}{c}{x^{\prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=e^{t}+x^{\prime}-5 x} \\ {y^{\prime \prime}=3 t^{2}+2 x-2 y}\end{array}\right.\]
Ahora tenemos que escribir cada ecuación en función de solo una de las derivadas de grado mayor. La segunda ecuación está lista, solo aparece \(y^{\prime \prime}\), tenemos que mover la primera ecuación para que solo tenga \(x^{\prime \prime}\), desaparezca el término \(2 y^{\prime \prime}\).
Multiplicando la segunda ecuación por 2 y restando de la primera, obtenemos.
\[x^{\prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime \prime}=e^{t}+x^{\prime}-5 x-2 \cdot\left(3 t^{2}+2 x-2 y\right)\]
\[x^{\prime \prime}=e^{t}-6 t^{2}-9 x+4 y+x^{\prime}\]
El sistema tiene la siguiente forma.
\[\left\{\begin{aligned} x^{\prime \prime}=e^{t} &-6 t^{2}-9 x+4 y+x^{\prime} \\ y^{\prime \prime} &=3 t^{2}+2 x-2 y \end{aligned}\right.\]
Ahora hagamos que la variable cambie. Como el grado máximo es 2, tenemos que hacer un cambio de variable con las derivadas de orden 1. Por lo tanto.
\[x^{\prime}=u, y^{\prime}=v\]
Vamos a calcular las derivadas de orden 2, orden superior, en función de los cambios de variables.
\[x^{\prime \prime}=u^{\prime}, \quad y^{\prime \prime}=v^{\prime}\]
Configurar el sistema de la manera normal es simplemente escribir esas dos ecuaciones del sistema en función de las nuevas variables. Entonces el sistema en forma normal será.
\[\begin{aligned} u^{\prime}=& e^{t}-6 t^{2}-9 x+4 y+u \\ & v^{\prime}=3 t^{2}+2 x-2 y \end{aligned}\]
\[\left\{\begin{array}{c}{x^{\prime}=u} \\ {y^{\prime}=v} \\ {u^{\prime}=e^{t}-6 t^{2}-9 x+4 y+u} \\ {v^{\prime}=3 t^{2}+2 x-2 y}\end{array}\right.\]
Tenemos dos ecuaciones derivadas de 2do grado y escribir en un sistema donde solo tenemos ecuaciones derivadas de primer orden y donde las derivadas son escritas como una combinación de las otras funciones. Así es como transformamos un sistema de ecuaciones en forma normal.
Sistema Degenerado
Sistema degenerado es el nombre que recibe un sistema de ecuaciones que no se puede escribir en forma normal. Esto ocurre cuando al intentar eliminar ciertas derivadas de una de las ecuaciones, eliminamos todas. Veamos un ejemplo
\[\left\{\begin{array}{c}{x^{\prime}+y^{\prime}=0} \\ {2 x^{\prime}+2 y^{\prime}+y=0}\end{array}\right.\]
Intentemos eliminar el término \(x^{\prime}\) de la segunda ecuación para escribirlo solo con \(y^{\prime}\). Multiplicando la primera ecuación por 2 y restando por la segunda.
\[2 x^{\prime}-2 x^{\prime}+2 y^{\prime}+y-2 y^{\prime}=0\]
\[y=0\]
Dado que era imposible escribir la segunda ecuación sólo en función de \(y^{\prime}\), será imposible escribir este sistema en forma normal, es decir, un sistema degenerado.
Eso es todo amigos, ¡vamos a los ejercicios!
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