Método de Eliminación - Caso Homogéneo

Vamos a comenzar a resolver los sistemas de EDOs. ¿Recuerdas cómo eran? Mira este ejemplo.

 

\[\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x+y} \\ {y^{\prime}=4 x+y}\end{array}\right.\]

 

Recuerde que vimos que era importante mantener la derivada aislada igual a una función. En este caso, no tenemos ninguna función de \(t\) en el sistema. Siempre que esto suceda, llamaremos al sistema homogéneo. Más adelante trataremos con sistemas no homogéneos.

 

Ahora comencemos mirando el método de eliminación en estos sistemas.

 

Método de eliminación

 

Resolvamos el ejemplo:

 

\[\left\{\begin{aligned} x^{\prime} &=x+y \\ y^{\prime} &=4 x+y \end{aligned}\right.\]

 

El objetivo es convertir el sistema en una EDO de 2do orden, \(x\) o \(y\), lo que sea más simple. Si elegimos \(y\), ¿cómo se verá?

 

Aislemos \(y\) en una de las dos ecuaciones, por ejemplo en la primera

 

\[y=x^{\prime}-x\]

 

Derivamos implícitamente esta ecuación, encontrando:

 

\[y^{\prime}=x^{\prime \prime}-x^{\prime}\]

 

Sustituimos la derivada y la ecuación en la segunda \(y\) aislada

 

\[y^{\prime}=4 x+y\]

 

\[\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)=4 x+\left(x^{\prime}-x\right)\]

 

\[x^{\prime \prime}-2 x^{\prime}-3 x=0\]

 

¡Listo! Llegamos al objetivo de encontrar una EDO de segundo orden. Ya sabemos cómo resolver este tipo de EDO, pero vamos a recordar el método de la ecuación característica aquí:

 

Vamos a obtener una EDO de coeficientes \(a, b\) y \(c\) constantes, de este tipo:

 

\[a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0\]

 

Esta es una EDO de 2do grado (por \(y^{\prime \prime}\)) y lineal (porque no tenemos \(y^{2}\)). Para encontrar las soluciones, primero necesitamos escribir su ecuación característica:

 

\[a r^{2}+b r+c=0\]

 

Es decir, reemplazar \(y^{\prime}\) por \(r^{2}, y^{\prime}\) con \(r\) y \(y\) con \(1\). Luego encontramos los valores de \(\gamma^{2}\), encontrando las raíces de esta ecuación de segundo grado.

 

Esto puede darse en 3 casos:

 

  1. \(>0\) : encontramos dos raíces reales diferentes \(\left(r_{1} \neq r_{2}\right)\). En este caso, las soluciones EDO son de tipo \(y(x)=c_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x}\);

 

  1. \(=0\) : Encontramos una raíz doble real \(\gamma^{2}\). En este caso, las soluciones EDO son de tipo \(y(x)=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{r x}\);

 

  1. \(<0\) : Encontramos dos raíces complejas conjugadas \(r_{1}=\alpha+i \beta\) y \(r_{2}=\alpha-i \beta\). En este caso, las soluciones de EDO son de tipo \(y(x)=c_{1} e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2} e^{\alpha x} \operatorname{sen} \beta x\)

 

La solución de esta EDO será

 

\[x(t)=C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{3 t}\]

 

Para encontrar la función \(y\) simplemente hacemos:

 

\[y=x^{\prime}-x\]

 

\[y=\left(C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{3 t}\right)^{\prime}-\left(C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{3 t}\right)\]

 

\[y=-C_{1} e^{-t}+3 C_{2} e^{3 t}-C_{1} e^{-t}-C_{2} e^{3 t}\]

 

\[y(t)=-2 C_{1} e^{-t}+2 C_{2} e^{3 t}\]

 

 ¿Recuerdas este método? Estamos volviendo a los temas de resolución de EDOs de segundo orden.

 

Bien, vimos el método de eliminación para sistemas homogéneos. Los pasos para resolver son los siguientes:

 

  • Paso 1: Aislar una variable, X o Y en una de las ecuaciones.

 

  • Paso 2  Derivar implícitamente la ecuación.

 

  • Paso 3: Sustitución de esta ecuación en otra, tratando de dejar una sola variable.

 

  • Paso 4: Resolver la EDO de segundo orden encontrada.

 

  • Paso 5: Encontrar la función faltante.

 

  • Paso 6: Sustituir los valores iniciales en caso de PVI.